CLASSE DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES

1833. Couper un triangle par une droite de manière que les deux parties de ce triangle soient entre elles dans un rapport donné et qu'elles aient leurs centres de gravité sur une même perpendiculaire à la sécante. On résoudra le même problème : 1<> lorsque les deux côtés sont égaux; 2° lorsque les trois côtés sont égaux.

183^. Étant données, dans un plan, deux paraboles égales dont les sommets se touchent et dont les axes sont tournés en sens contraires; on suppose que Tune d'elles roule sur l'autre de manière que, dans chacune •des positions qu'elle vient occuper successivement, elle lui soit toujours tangente en un point également éloigné du sommet de la parabole fixe et du sommet de la parabole mobile. Pendant ce mouvement, le sommet de cette dernière courbe décrit un lieu dont on demande l'équation.

3 844. Étant donnés une eïlipse et un point A sur l'ellipse, on décrit un cercle tangent à la courbe en ce point et l'on mène au cercle et à l'ellipse les deux tangentes communes, autres que celles qui toucheraient les deux courbes données au point A. On demande le lieu du point commun à ces deux tangentes quand on fait varier le rayon du cercle.

1845. Étant donnés un cercle et un point situé dans son intérieur, on Imagine que sur chacun des diamètres de ce cercle on décrive une ellipse qui ait ce diamètre pour grand axe et qui casse par le point donné. On demande :

d° L'équation générale de ces ellipses;

2° Le lieu géométrique de leurs foyers;

3° Le lieu des extrémités de leurs petits axes.

1846. Étant donnée une ellipse, si on lui circonscrit des rectangles tels que ABGD, on sait que tous les sommets sont situés sur un même cercle concentrique à l'ellipse. Cela étant admis, des points de contact N et Q de deux côtés opposés de chaque rectangle, on mène deux droites au point de •contact M de l'un des deux autres côtés et l'on demande de prouver :

4° Que MN et MQ sont également inclinées sur le côté AB;

2° Que MN -f MQ est constante ;

3° Que ces droites MN, MQ, enveloppent une ellipse homofocale à la proposée.

184?. Un triangle PQR étant circonscrit à un cercle, on forme un second triangle dont les sommets A, B, C, sont les points milieux des côtés du premier. Des sommets de ce second triangle, on mène au cercle les tanpentes Aa, B6, Ce, qui rencontrent respectivement en abc, les côtés oppusés à ces sommets. On propose de démontrer que ces trois points sont en ligne droite.

On verra si le théorème a également lieu lorsque, à la place du cercle incrit, on prend une section conique quelconque tangente aux trois côté» du triangle PQR.

1848. Soit dans le plan d'une ellipse donnée, une droite quelconque TS; par le centre C de l'ellipse, on mène le diamètre ACB conjugué à la direction de cette droite et qui va la couper au point 0. On prolonge ensuite la ligne OC d'une longueur OM, telle que OC. CMr=CA2. On suppose que la droite TS se meuve de manière à être toujours tangente à une courbe donnée et l'on demande quelle se'ra la courbe décrite par le point M. On indiquera la méthode à suivre et l'on en fera l'application au cas suivant. L'ellipse a

pour équation -^ + ^-— * » et ^a droite TS reste tangente à la courbe qui

est représentée par l'équation x2=ay.

1849. Soient, dans un plan, une ellipse et une droite située hors de cetteellipse. On prend sur la droite deux points N, N', conjugués par rapport à l'elipse (c'est-à-dire deux points tels que la polaire de l'un passe par l'autre); cela posé :

4o Prouver qu'il existe dans le plan de l'ellipse deux points 0, 0', desquel3 on voit chaque segment NN' sous un angle droit; 2° On demande le lieu des poiais 0, 0', quand la droite se meut parallèlement à elle-même.

1850. Étant donnés deux axes fixes ox, oy, autour d'un point fixe P, on fait tourner un angle ABP de grandeur constante et donnée (A, marquant le point où l'un des côtés de l'angle va couper ox, et B, le point où l'autre côté coupe l'axe oy). On demande de prouver qu'il existe sur ox un point fixe A' et sur oy un point fixe B' tels que le produit AA X BB' reste constant pour toutes les positions de l'angle. On examinera le cas particulier où les droites ox, oy, coïncident.

1851. Étant donnée une droite L. on mène, de chacun de ces points M, deux droites à deux points fixes P et P'. Deux autres points fixes 0, et 0', sont les sommets de deux angles AOB, A'OB', de grandeurs données et constants, que l'on fait tourner autour de leurs sommets respectifs de manièreque leurs côtés OA, O'A', soient respectivement perpendiculaires aux deux droites MP, M'P'. On demande quelle est la courbe décrite par le point d'intersection N des deux droites OA, O'A' et la courbe qui est décrite par le point d'intersection des deux autres côtés OB, O'B', quand le point M glisse sur la droite fixe L.

1854. Si l'on prend pour diamètre d'un cercle la portion de l'axe non transverse comprise entre le centre et la normale en un point quelconque de la courbe, la tangente menée au cercle par ce dernier point est égale au demi-axe réel.

Résoudre, d'après cela, la question suivante : Étant donnés les deux sommets et un troisième point quelconque de l'hyperbole, construire la normale en ce point. Indiquer les propriétés et les constructions analogues pour l'ellipse.

185^. Étant données deux coniques C et C', on mène dans la première tous les systèmes possibles de diamètres conjugués et par un point de la circonférence de l'autre on mène des paraboles aux diamètres de chaque système. Faire voir que la droite qui joint les seconds points d'intersection de ces parallèles avec la courbe passent par un même point.

1859.- Par un point donné sur l'axe d'un paraboloïde de révolution on mène une sécante et par les points où cette sécante rencontre la surface, on mène des normales à la section méridienne qui la contient ; ces normales se rencontrent en un point dont on demande le lieu. On examinera si tous les points de la surface font réellement partie du lieu.

1860. On donne deux ellipsoïdes A et B, On demande le lieu, des sommets des trièdres dont les faces sont tangentes à l'ellipsoïde A et parallèles à trois plans diamétraux conjugués de B.

186 1. Un ellipsoïde étant donné, trouver le lieu des centres des sections planes dont l'aire est égale à une constante donnée.

1862. Deux paraboles de même paramètre ont leurs axes à angle droit; l'une d'elles est fixe, l'autre est mobile. Une corde commune AB passe constamment par le pied D de la directrice de la parabole fixe; on demande le lieu décrit par le sommet de la parabole mobile.

1863. Une surface du second degré de révolution pourvue d'un centre se meut de manière que dans chacune de ses positions elle rencontre, suivant une circonférence de cercle, une surface du second degré fixe et donnée. On demande le lieu du centre de la surface mobile.

1864. On donne deux coniques ayant un même foyer et leurs axes proportionnels. Soient FA, FA, leurs rayons vecteurs minimums ; on fait tourner ces rayons vecteurs autour de F, en conservant leur distance angulaire, soit FC. FC, une position. En C et G' on mène les tangentes à chacune des coniques; trouver le lieu de leur point de rencontre.

1865. Etant données deux coniques tangentes en un point 0, on leur mène une tangente commune OR, ainsi que les tangentes communes extérieures AA', BB', qui se coupent en M. Cela posé, on propose de démontrer que :

4° La droite PP', qui joint les points P et P' diamétralement opposés au point 0 dans les deux coniques, passe par le point M.

2° Les droites AB, AB', qui joignent les points de contact de chaque conique avec les tangentes extérieures communes, se coupent en un point R qui est situé sur la tangente commune OR.

3o Les tangentes menées aux deux coniques par le point R touchent les courbes en des points qui sont situés sur la droite MC

On fera voir que, généralement, le point R ne partage cette propriété avec un autre point et on déterminera la condition qui doit être remplie pour qu'il existe une ligne telle que les tangentes menées par chaque point de cette ligne aux deux coniques donnent quatre points de contact en ligne droite.

1866- Démontrer que 4° les quatre points d'intersection de deux coniques quelconques inscrites dans un rectangle donné sont les sommets d'un parallélogramme dont les côtés sont parallèles à deux directions fixes.

2o Trouver le lieu des points de contact des tangentes menées d'un point du plan à toutes les coniques inscrites dans un rectangle donné; ou bien des tangentes parallèles à une direction donnée.

3° Trouver le lieu des points de toutes ces coniques où la tangente fait un angle donné avec le diamètre qui aboutit au point de contact.

1867. Un ellipsoïde étant donné, on propose de trouver une droite L dans l'espace, et un point P sur l'ellipsoïde, de façon que les cônes qui ont pour sommet commun le point P, et pour bases les sections faites dans l'ellipsoïde par des plans contenant L, soient de révolution. On cherchera,, en outre, -r^uel est le lieu des positions occupées par la droite L, lorsque le plus grand et le plus petit axes de l'ellipsoïde restant invariables, on fait varier la longueur de l'axe moyen.

1868. On propose :

4° De trouver le lieu géométrique des points divisant dans un rapport

donné les portions des tangentes à uDe conique fixe qui sont comprises entre deux droites fixes ;

2° De classer méthodiquement, en s'attachant surtout aux cas généraux,. les diverses formes que ce lieu géométrique peut affecter;

3° De trouver les conditions que doivent remplir la conique et les deux droites fixes pour que le lieu géométrique demandé se décompose en lignes droites ou en lignes du second ordre.

1869. On donne un cercle dont le centre est en 0, et un point P dans le plan de ce cercle, en dehors de la circonférence; trouver le lieu décrit par les foyers d'une hyperbole équilatère, doublement tangente au cercle et passant par le point P.

On construira le lieu en supposant la distance PO égale au triple du rayon du cercle.

1870. Deux ellipses ont leur centre en un même point et leurs axes dirigés suivant les mêmes droites. Déterminer le lien d'un point tel que? les cônes ayant ce point pour sommet commun, et les deux ellipses pour directrices, soient égaux.

1872 i. Étant donné un prisme triangulaire droit on le coupe par des plans rencontrant les trois arêtes, de telle manière que les volumes des troncs de prisme obtenus soient dans un rapport donné :

4° Trouver la surface engendrée par le centre de gravité de l'un des troncs de prisme, quand le plan sécant se déplace sans cesser de rencontrer les trois arêtes.

2° Trouver les courbes qui forment les contours de ces surfaces.

On examinera, en particulier, le cas où le prisme donné a pour bases des triangles équilatéraux.

1873. Une surface du second degré étant donnée, ainsi que deux points A, B, sur cette surface; il existe une infinité de surfaces du second degré S qui sont tangentes en A et B, à S. On propose de trouver :

i° Le lieu géométrique des centres des surfaces 2;

2° Le lieu géométrique des points de contact de ces surfaces avec les plans tangents qu'on peut leur mener parallèlement à un plan donné;

3° Le lieu géométrique des points de contact de ces surfaces avec les plans tangents qu'on peut leur mener par une droite donnée.

1874 (Paris). Démontrer que la forme la plus générale d'un polynôme entier F (x) satisfaisant aux relations :

P(1-*)HF(«) . p[i]=^

est %

F (x) :=: (x2 — x)2* (x2 — x + i)* J A0(o;2 — x + \fn + A1 {x2 — x + \f <" - «> (x*—x)}

+ A2 [x2 — x -f 4/5(»-2) (œ2 — a;)* + . . . + kn (x2 - x)2n J

p, g, n désignant des nombres entiers, et A0, A,, A2,.... An des constantes quelconques.

1874 (Départements). Si l'on considère la fonction G'X2 de la variable x et que l'on en prenne les dérivées successives, on reconnaît que la dérivée de l'ordre n est égale au produit de la fonction e"x2 par un polynôme entier en x que l'on représentera par ç„ (x).