Il n'y a pas eu de concours général en

i° Démontrer que les polynômes 9 (x) satisfont aux relations suivantes s

9« (») IET — 2xfn (x) + 2n9n (a?) -

2° Calculer les coefficients du polynôme çn (x) ordonné suivant les puissances de x.

1875* Étant donnés un ellipsoïde, un plan P, et un point A dans cp plan; trouver le lieu des sommets des cônes circonscrits à l'ellipsoïde et tels que la section de chacun de ces cônes, par le plan P, admette pour foyer le point A.

18*76. Étant donné un parallélipipède on considère trois arêtes, qui n'ont pas d'extrémités communes et les deux sommets non situés sur ces trois arêtes :

4° Trouver l'équation du lieu d'une courbe plane du second degré, passant par ces deux points et s'appuyant sur les trois arêtes.

2° Chercher les droites réelles situées sur la surface.

3° Étudier la forme des sections faites dans la surface par des plans parallèles à Tune des faces du parallélipipède.

1877. Rechercher les surfaces S du second degré sur lesquelles existe une droite D telle que l'hyperboloïde de révolution H qui a pour axe une génératrice quelconque G, de la surface S. et du même système que D, et qui passe par la droite D, coupe orthogonalement la surface S en tous les points de cette droite.

Si l'on considère tous les hyperboloïdes H qui se rapportent à une même surface S, jouissant de la propriété énoncée :

4° Trouver le lieu des sommets A et celui des foyers F des hyperboloïdes H' conjugués des hyperboloïdes H;

2° Par l'un des foyers F de l'hyperboloïde H', on mène un point P parallèle à la perpendiculaire commune aux deux droites G et D, et faisant, avec cette dernière, un angle supplémentaire de celui que fait, avec cette même droite, l'axe G de l'hyperboloïde H; trouver le lieu de la droite qui joint le point où le plan P coupe la droite D à l'un des points où ce plan coupe la courbe d'intersection de la surface S et de l'hyperboloïde H.

1878. Les droites A'OA, BOB, C'OC sont trois axes de coordonnées rectangulaires; on suppose OA' = OA = a , OB' = OB — b , OC = OC = c

4° Le lieu des axes de révolution des surfaces de révolution du second degré qui passent par les six points A, A', B, B', C, C ;

2° Le lieu des extrémités D de ces axes.

On construira la projection du lieu des points D sur le plan AOB, en supposant a >£> b et l'on partagera la courbe en arcs tels que chacun d'eux corresponde à des surfaces de même espèce.

1879. On donne un hyperboloïde à une nappe et un point dans le plan du cercle de gorge. Par ce point on mène une droite parallèle à une génératrice de la surface. Cette droite est l'axe d'un cylindre de révolution qui passe par la génératrice de l'hyperboloïde. Trouver l'équation de la : projection sur le plan de xy de l'intersection des deux surfaces. La protection a un point double dont on demande le lieu lorsque la droite varie.

1880. Sur une courbe donnée du troisième degré, ayant un point de |rebroussement 0, on considère une suite de points

nS QUESTIONS D'EXAMENS.

tels que îa tangente en chacun de ces points rencontre la courbe au point suivant :

d° Étant données les coordonnées du point A0, on propose de trouver les coordonnées des points A n, An, et de déterminer les limites vers lesquelles tendent ces points quand l'indice n augmente indéfiniment.

2° On demande le lieu décrit par le premier point limite, lorsque la courbe du troisième degré se déforme en conservant le même point de rebroussement 0, la même tangente en ce point, et en passant constamment par trois points fixes P, Q, R.

S0 On étudiera comment varient les points d'intersection de ce lieu et les côtés du triangle P Q R, quand les sommets de ce triangle se déplacent sur des droites passant par 0.

1881. Trouver le lieu des points tels que les pieds des six normales qu'on peut mener de l'un quelconque d'entre eux à un ellipsoïde donné, à trois axes inégaux, se séparent en deux groupes de trois points dont les plans respectifs soient parallèles entre eux.

Montrer que, si l'on se donne un point P du lieu, la solution de ce problème « mener du point P les normales à l'ellipsoïde » dépend de la résolution de deux équations du troisième degré.

Discuter ces équations.

1882. Par un point quelconque P pris dans le plan d'une parabole donnée, dont le sommet est en 0, on mène à cette courbe trois normales qui la rencontrent aux points A, B, G. Les longueurs PA, PB, PC, PO étant représentées respectivement par a, &, c, l, on demande de former l'équation du troisième degré dont les racines sont l2 — a2, l2 — b2, l2 — c2, et d'indiquer les signes des racines d'après la portion du point P dans les diverses régions du plan.

1883. D'un point P pris sur une normale en un point A d'un paraboloïde elliptique on peut mener à la surface quatre autres normales ayant pour pieds B, C, D, et E ; lo on demande de trouver l'équation de la sphère S passant par les quatre points B, G, D, et E; % de trouver le lieu des centres I de la sphère S quand le point P se déplace sur la normale au point A, ainsi que la surface engendrée par la droite PL

1884. Par le centre d'un ellipsoïde donné, on mène trois diamètres conjugués quelconques; et par les points où ces droites rencontrent la sphère circonscrite au parallélépipède formé par les plans tangents au sommet de l'ellipsoïde, on fait passer des plans; lo trouver le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées d'un point donné P sur ces plans variables; 2o ce lieu est une surface du quatrième ordre dont l'équation peut être ramenée à la forme suivante :

(X2 + y2 + ^2)2 \ ^x2 + 4Ay + ^>Z2 + gca j- 8C'j/ + 8C"s + AD = 0;

trouver toutes les sphères telles que chacune d'elles coupe la surface suivant deux cercles; 3° ces sphères forment cinq séries parmi lesquelles deux ne sont pas distinctes. Démontrer que les sphères de la série double passent toutes par un même point, et trouver le lieu de leurs centres. Démontrer que les sphères de chacune des trois autres séries coupent respectivement à angle droit des sphères fixes Si , S2, S3. Trouver le lieu des centres des sphères de ces trois séries.

1885. Voyez fin du ehap. VIL Exercice 9.

1886. Étant donnée une surface du deuxième ordre S et deux points A, B, on mène par le point B une sécante qui rencontre la surface S aux points G

«t C et le plan polaire de A au point D. Soient M et M' les points où la droite AD rencontre les plans qui teuchent la surface S aux points G et G'.

•1° La sécante BD tournant autour du point B, on demande le lieu décrit par les points M et M'.

®% Ce lieu se compose de deux surfaces du deuxième ordre dont l'une est indépendante de la position du point B et dont l'autre 2 dépend de la position de ce point. Chercher ce que devient la surface 2 quand, dans la construction qui donne les points de cette surface, on fait jouer au point A le rôle du point B et inversement.

3° Le point A restant fixe, déterminer les positions occupées par le point B quand la surface 2 n'a pas un centre unique à distance finie.

1887. I. On représente par (xit yt), (x2, y2)... (xm, ym) les coordonnées des points d'intersection de deux courbes algébriques dont les équations mises sous forme entière sont f(x, y) = 0, F(x, y) = 0. On suppose que les points d'intersection sont simples et situés d distance finie.

i° Montrer que, pour chaque valeur de i, on peut écrire :

fip> y) = fa — <*) ai (x> y) + (y — y*) hi (x> y)

îss coefficients ait ô{, A,-, Bt- étant des polynômes en x et y,

2o On pose <çi{x, y) = * ^

i = m et <S>{x, y) = SGi<pi(oî, y),

et Ton demande de déterminer les constantes G*- de manière que le polynôme 3> prenne pour x — Xi et y = y{ une valeur donnée ii{. Montrer que 1s polynôme <£> ainsi obtenu comprend, comme cas particulier, la formule d'interpolation de Lagrange.

o3 Démontrer que tous les polynômes en x et y qui, pour x = a?,- et y = y} prennent la valeur u*, peuvent être mis sous la forme

4> + Mf+NF

M et N étant des polynômes en x et y.

II. Soient f= 0, F = 0 les équations de deux coniques u et U, et X,, X2, X*, les racines de l'équation obtenue en égalant à zéro le discriminant de la fonction f — XF; trouver la relation entre X,, X2, X, exprimant la condition nécessaire et suffisante pour qu'on puisse inscrire, dans la conique u, un quadrilatère circonscrit à la conique U.

1888. Soit G la courbe, lieu géométrique des sommets des angles de grandeur constante circonscrits à une ellipse donnée E ; et D une droite également donnée. 1° Démontrer qu'il y a trois coniques tangentes à la droite D et touchant en quatre points la courbe G. Déterminer la nature de ces trois coniques. 2° Soit a,, a2, a3, a4 les points où la droite D rencontre la courbe G; par deux de ces points, a, et a2 par exemple, on fait passer une série de cercles coupant la courbe G en deux points variables M et M' ; et on demande de trouver la courbe enveloppe des droites MM'. 3° On suppose la droite D tangente à l'ellipse E, et, par les points a,, a2, a3, a4 où cette tangente rencontre la courbe G, on mène à l'ellipse des tangentes autres que la tangente D : trouver le lieu décrit par les sommets du quadrilatère formé par ces tangentes, quand la droite D roule sur l'ellipse E.

1889. Étant donnés un cercle ayant pour centre le point 0 et une para-

bole P, on considère toutes les coniques inscrites au quadrilatère formé par les tangentes communes au cercle 0 et à la parabole P.

Cela posé, on demande de trouver.

4° (a) L'enveloppe des polaires A; du point 0, par rapport aux coniques G; (b) l'enveloppe des tangentes T aux coniques G, telles que les normales aux points de contact passent par le point 0; (c) l'enveloppe des axes des coniques G.

2° Les lieux géométriques des pieds des perpendiculaires abaissées du point 0, sur les polaires A, sur tes tangentes T et sur les axes des coniques G.

Résultats. — Pour les enveloppes (a), (b), (c), on trouve la môme parabole; pour les lieux géométriques (2) une strophoïde, podaire de la parabole par rapport à un point de sa directrice.

1890. On donne une surface du second #rdre S, un point fixe A sur cette surface et une conique G, située clans un plan P. Les trois droites qui joignent le point A aux sommets A4, A2, A3 d'un triangle T situé dans le plan P rencontrent respectivement la surface S en des points A', A;2, A's autres que A,.

1° Démontrer que le plan A',, A'2, A's passe par un point fixe M quand le triangle T se déplace dans le plan P en restant conjugué par rapport à la conique G ;

2° Trouver le lieu décrit par le point M quand la conique G varie en restant circonscrite à un quadrilatère donné ;

3° Trouver le lieu décrit par le môme point M quand la conique G varie en restant inscrite dans un quadrilatère donné.

1391. On donne une quadrique Q et une sphère S, de rayon nul, ayant pour centre le point P ; soit 2 une quelconque des quadriques passant par l'intersection de la quadrique Q et de la sphère S.

1° Démontrer que le cône ayant pour sommet le point P et pour base la section de la surface 2 par un plan touchant la quadrique Q en un point quelconque M a pour un de ses axes de symétrie la droite PM;

2° Trouver le nombre des quadriques S qui se réduisent à de véritables cônes et les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'un de ces cônes devienne un véritable cylindre ou un système de deux plans réels.

3° La quadrique Q et le point P étant donnés, examiner si la propriété énoncée au 1° peut subsister quand on remplace la sphère-point S par une quadrique convenablement choisie.

1892. Une quadrique Q est circonscrite à un ellipsoïde donné E.

A étant le pôle, par rapport à l'ellipsoïde, du plan P de la courbe de contact des deux surfaces :

d° Démontrer qu'en général il y a trois quadriques Q,, Q2, Q3 homofocales avec E et telles que les plans polaires P,, P2. P5, du point A, par rapport aux surfaces Qi, Q2, Q3, passent par le centre de Q.

2° Les plans P,, P2, P3 sont les plans principaux de Q, et les coniques G,, G2, G- intersections des surfaces (P.,Q<); (P2Q2); (P3Q3) sont les focales de cette quadrique.

3° Les projections orthogonales des coniques C, , C2, Cs surles plans principaux de E sont des coniques homofocales. En particulier, on projettera sur le plan principal contenant les axes majeur et moyen de l'ellipsoïde E. Chercher le lieu des foyers des coniques projetées, quand Q varie, en restant, circonscrite à E, le plan P de la courbe de contact ne changeant pas.

(Voyez à la fin les compositions de 1893.)