ECOLE NORMALE SUPERIEURE

186-i. D'un point P extérieur à une conique, on mène une sécante PAB. Aux points A, B, où elle rencontre la courbe, on mène des tangentes qui se coupent en M et l'on projette le point M sur la droite AB; trouver le lieu de ces projections.

Prouver: 1° que le lieu passe au point P : tangente en ce point; 2° que le lieu est le même pour toutes les coniques homofocales ; 3° que le lieu peut être considéré comme le lieu des projections du point P sur certaines droites qui sont tangentes à une courbe dont on demande l'équation.

1863. On considère les hyperboles équilatères tangentes à une droite fixe AB en un point donné G et passant par un point D. D'un point P pris sur AB, on mène des tangentes à chacune des hyperboles et l'on demande le lieu des points de contact.

Déterminer la nature du lieu suivant la position du point D.

1864. Étant donnés un triangle ABC et une droite D passant par le point A, il y a une infinité de coniques passant par les points A, B, G et tangentes à la droite AD.

A chacune de ces courbes on mène des tangentes parallèles à AD; trouver le lieu des points de contact.

Ce lieu est une conique; on demande la courbe décrite par ses foyers lorsque, les points A, B, G restant fixes, la droite AD tourne autour du point A.

1866. Dans une ellipse donnée, on inscrit un parallélogramme ayant pour diagonales deux diamètres conjugués quelconques AA', BB'. Aux sommets de ce parallélogramme on mène les normales à l'ellipse ; elles forment un second parallélogramme MN M7N.

-1° Démontrer que les diagonales de chacun des deux parallélogrammes AB A'B' MN MN' sont respectivement perpendiculaires aux côtés de l'autre»

2° Trouver le lieu des sommets du parallélogramme MN M'N' quand on fait varier les diamètres conjugués.

3° Trouver le lieu du point d'intersection de la diagonale NN' et de la tangente en M au lieu précédent.

1867. On donne deux droites rectangulaires AB, CD, et l'on considère les hyperboles ayant la droite AB pour asymptote et touchant la droite CD en un point fixe P. On demande :

1° Le lieu des foyers de toutes ces hyperboles : 2° le lieu du point de rencontre de la seconde asymptote avec la perpendiculaire abaissée du point fixe sur sa direction; 3° le lieu des points d'intersection de la seconde

asymptote avec la droite qui joint le foyer au point d'intersection dos deux droites données.

1868. On donne une ellipse et un point P situé dans le plan de la courbe. Déterminer le lieu des sommets des cônes qui ont l'ellipse pour directrice et dont l'un des trois axes de symétrie passe par le point P.

1869. Etant donnés un rectangle et un point P dans son plan, on mène par le point P une droite quelconque PQ et l'on imagine les deux coniques qui passent par les sommets du rectangle et touchent la droite PQ. Soient É, E' les deux points de contact et M le milieu du segment EE' ; trouver le lieu décrit par le point M, quand on fait tourner la droite PQ autour du point P.

On construira le lieu dans les hypothèses suivantes : le rectangle se réduit à un carré dont le côté est 2a, et, si l'on prend pour axes des coordonnées les parallèles aux côtés du carré menées par son centre, les coordonnées du point P sont x = y = - •

• 1870. Par l'axe transverse d'une hyperbole donnée, on mène un plan P faisant un angle a avec le plan de la courbe, puis dans le plan P, une droite OZ, perpendiculaire à cet axe transverse.

Trouver i'équation de la surface de révolution décrite par la rotation de l'hyperbole autour de OZ.

Construire la section méridienne de la surface, en supposant 4» l'hyperbole équilatère; 2° la droite OZ menée par l'un des sommets de la courbe; 3° l'angle a égal à 45 degrés.

18TO1. Par un point fixe A, pris sur une surface du second degré donnée, on mène tous les plans qui coupent la surface suivant des courbes dont l'un des sommets est en A :

1° Trouver le lieu de celui des axes de la section qui passe par le point A;

2° Trouver le lieu du point où le diamètre conjugué du plan sécant, relativement à la surface donnée, rencontre le plan tangent à cette surface au point A ;

3o Construire ce dernier lieu dans le cas où le plan tangent en A coupe la surface donnée suivant deux droites rectangulaires.

1873. Étant donnés une ellipse A et un point P dans son plan, de ce point P on mène des normales à l'ellipse A et l'on considère la conique B qui passe par le point P et les pieds des quatre normales :

1° Trouver les coordonnées du centre de cette conique B et celles de ses foyers.

2o Trouver le lieu C du centre et le lieu D des foyers de la conique B, lorsque l'ellipse A varie de manière que ses foyers restent fixes.

3° Trouver le lieu des points d'intersection du lieu D et de la droite OP lorsque le point P décrit un cercle de rayon donné et ayant pour centre le centre 0 de l'ellipse A.

18*14. i° Par les trois sommets d'un triangle rectangle on fait passer des paraboles, On mène à ces paraboles des tangentes parallèles à l'hypoténuse du triangle donné. On demande le lieu des points de contact.

2° Le lieu cherché est une conique qui coupe chacune des paraboles en quatre points, On demande le lieu décrit par le centre de gravité du triangle formé par les sécantes communes qui ne passent pas par l'origine.

1875. On considère une infinité d'ellipses semblables entre elles ayant