Il n'y a pas eu de concours en

un sommet fixe 0 et Ja même tangente en ce point; on demande le lieu des pieds des normales menées, d'un point fixe P, à ces ellipses.

On construira le lieu, dans le cas particulier où OP est incline de 45 degrés sur la tangente fixe donnée et en supposant, successivement, que le rapport des axes des ellipses considérées est égal à \/3 ou égal à 2.

18^6. On considère toutes les paraboles tangentes à deux droites rectangulaires ox, oy, et telles que la droite PQ, qui joint leurs points de contact P et Q avec les deux droites, passe par un point fixe donné

1° On demande le lieu du point d'insersection de la normale en P à l'une de ces paraboles avec le diamètre de la même courbe passant en Q.

2° On demande de déterminer le nombre des paraboles réelles qui passent par un point quelconque du plan.

3° On demande l'équation du lieu des points de rencontre de deux paraboles satisfaisant aux conditions proposées et dont les axes font un angle donné.

On construira ce lieu dans le cas où l'angle donné est un angle de 45 degrés et où le point A est sur la droite ox.

i8W. On considère toutes les coniques circonscrites à un triangle ABC rectangle en A, et telles que les tangentes en B et C à ces coniques aillent se couper sur la hauteur du triangle. On demande :

1° Le lieu du point de concours des normales en B et G à ces coniques;

2° Le lieu du centre de ces coniques : on distinguera les points du lieu qui sont centres des ellipses, de ceux qui sont centres des hyperboles;

3° Le lieu des pôles d'une droite quelconque D. Ce lieu est une conique. On considère toutes les droites D pour lesquelles cette conique est une parabole et l'on demande le lieu des projections du point A sur ces droites

18^8. On donne une conique et deux points fixes A et B sur cette courbe. Une circonférence quelconque passant par les deux points A et B rencontre la conique en deux autres points variables C et D; on mène les droites AC, BD qui se coupent en M, les droites AD, BC qui se coupent en N.

Déterminer :

1° Le lieu des points M et N;

2° Le lieu des points de rencontre de la droite MN avec la circonférence avec laquelle elle correspond.

On construira les deux lieux.

18^9. Étant donné un tétraèdre OABC défini par l'angle trièdre 0 et les longueurs 4a, 46, 4c des trois arêtes OA, OB, OC.

1° Démontrer que l'ellipsoïde qui admet pour diamètres conjugués les trois droites qui joignent les milieux des arêtes opposées deux à deux, est tangent aux six arêtes du tétraèdre;

2° Trouver l'intersection de cet ellipsoide et de l'hyperboloïde engendré par une droite mobile qui s'appuie sur les trois droites :

La première menée par le milieu de OA parallèlement à OB, La deuxième » » OB » OC,

La troisième » » OC » OA.

Par chacun des points où la droite mobile rencontre la surface, on mène un plan parallèle au plan tangent à l'ellipsoïde à l'autre point.

Démontrer que ces plans passent par le centre w et trouver le lieu décrit par l'intersection de ces deux plans.

4880. Étant donné un paraboloïde hyperbolique, on considère une

génératrice rectiligne À de cette surface et la génératrice B du même système qui est perpendiculaire à la première; par les pointa a et 6 ou ces droites sont rencontrées par leur perpendiculaire commune passent deux génératrices rectilignes A' et B' de l'autre système; soient a' et b' les points où les deux droites A' et B' sont rencontrées par leur perpendiculaire commune.

1° Trouver le lieu des points a et 6, et celui des points a' et &', quand la droite A décrit le paraboloïde;

2° Trouver le lieu du point de rencontre des droites A et B', ou A' et B;

3<> Calculer le rapport des longueurs a' b' et a b des perpendiculaires communes, ef, étudier la variation de ces longueurs.

1881. On considère la courbe

27?/2 = ixz.

lo On demande la condition à laquelle doivent satisfaire les paramètres m et n pour que la droite y=zmx-\-n soit tangente à cette courbe.

2° On demande le lieu des points d'où l'on peut mener à la courbe proposée deux tangentes parallèles à deux diamètres conjugués de la conique représentée par l'équation

œ2 + y2 + Zaxy = B.

3o Par un point A pris sur la courbe on mène des sécantes coupant cette courbe en deux points variables M et M'. On demande le lieu du milieu du segment M et M'. Discuter la forme de ce lieu et indiquer les arcs qui répondent à des sécantes pour lesquelles les points MM' sont réels.

188S. Soit un point fixe donué P ayant pour coordonnées a et b par rapport à deux angles rectangulaires Ox, Oy. et soient A et B les pieds des perpendiculaires abaissées du point P sur ces deux axes. On considère les courbes du second ordre tangentes aux deux axes en ces points A et B; du point P on mène à chacune de ces courbes deux normales variables PM, PM'.

d° Déterminer l'équation de la droite MM' qui joint les pieds des normales variables, et démontrer que cette droite passe par un point fixe;

2° Déterminer l'équation de la courbe G lieu des points M et M'. Construire la courbe C, dans l'hypothèse a = b, au moyen de coordonnées polaires ayant le point 0 pour pôle.

1883. On donne la cissoïde qui, rapportée à des axes rectangulaires, a pour équation

(œ2 + y2) x = ay2.

Soient x'9 i/ les coordonnées d'un point M du plan. On propose de former :

1» L'équation du troisième degré qui a pour racines les coefficients angulaires des droites qui joignent l'origine 0 aux points de contact des trois tangentes à la cissoïde issues du point M; 2° l'équation du cercle qui passe par ces points de contact.

Montrer que, si les trois tangentes sont réelles, le point M est intérieur au cercle.

On considère l'ensemble des cercles Cm dont chacun jouit de cette propriété que les tangentes à la cissoïde, en trois des quatre points où ils la rencontrent, concourent en un même point; soit M ce point pour le cercle C,„,

On demande le lieu des centres des cercles CM qui passent par un point donné P du plan, ainsi que le lieu des points M relatifs à ces cercles. On

examinera en particulier le cas où le point P est situé sur la cissoïde et ne fait pas partie des trois points communs au cercle C2 et à la cissoïde, pour lesquels les tangentes concourent.

Combien passe-t-il de cercles C,n par deux points donnés P et Q du plan? Peut-on disposer de ces points de façon qu'ils appartiennent à une infinité de cercles C„,?

1884. a et b désignant les coordonnées rectilignes rectangulaires d'un point M, quelle est pour chaque position de ce point la nature des racines de l'équation

3(4 j- 8at3 — mt2 + ib = 0 ?

On construira, en particulier, le lieu des positions du point M pour lesquelles l'équation admet une racine double, en calculant les coordonnées d'un point du lieu en fonction de cette racine.

1885. Voyez page 368. Exercice 40.

1886. On considère les courbes du troisième degré G, représentées par

où X désigne un paramètre variable.

On demande de démontrer qu'il existe deux courbes de cette espèce tangentes à une droite quelconque D du plan, ayant pour équation

et de calculer les coordonnées des deux points de contact M et M'. Distinguer les droites D, pour lesquelles ces deux points sont réels, des droites pour lesquelles ils sont imaginaires. Examiner pour quelles positions de la droite D les deux points M et M' viennent se confondre en un seul, et trouver, dans ce cas, le lieu décrit par le point de contact.

Connaissant les coordonnées (a, p) d'un point de contact M d'une courbe G avec une droite D, trouver les coordonnées (a, (3') du second point de contact M' situé sur D. Construire la courbe décrite par le point M' lorsque le point M décrit la ligne droite

1887. On considère la surface (dite cylindroïde) qui, rapportée à des axes rectangulaires, a pour équation.

Soit M un point de l'espace, dont les coordonnées sont x' \j z' ; on propose de mener de ce point des normales au cylindroïde :

lo Désignant par a, (B, y les coordonnées du pied de rime quelconque des normales abaissées du point M sur le cylindroïde, on formera l'équation du quatrième degré (I) ayant pour racine les valeurs de - /l'équation (II)

ayant pour racines les valeurs dey, et Ton montrera comment, des racines de l'une ou de l'autre de ces équations, on déduirait les coordonnés des pieds des normales cherchées.

2o Sur quel lieu doit se trouver le point M pour que l'équation (I) soit réciproque? Trouver, en supposant lo point M situé sur ce lieu, les coordonnées des pieds des normales.

3o Sur quel" lieu doit se trouver le point M pour que l'équation (II) ait une racine double égale à z ? En supposant le point M situé sur ce lieu, recon-

naître si les racines de l'équation (II), différentes de z't sont réelles ou imaginaires.

4° Que représente l'équation (II) quand on y regarde l'inconnue comme une constante et x', y', z' comme les coordonnées d'un point variable?

1888. Un polynôme f(x) du degré n vérifie l'identité

nf(x) = (x-a)f'(x) + br(x):

1° Chercher les coefficients de f(x), ordonné suivant les puissances de (x — a) ;

8° Chercher les conditions de réalité des racines ;

3° Prouver que si bQ est la valeur absolue de b, les racines de f(x) sont comprises entre

ln{n — \) ln(n — \) r

Construire la courbe représentée par l'équation :

x(x2 — y2)2 -\-&xy(x — y)2 — &y(%y — 3#) = 0.

1889. 1° Déterminer un polynôme entier en as du septième degré, f(x), sachant que f{x)-\-i est divisible par (as + l)4 et f{x) — i par (x -j- -1)'\ Quel est le nombre clés racines réelles de l'équation f(x) = 0i

2° On considère, dans un plan, une parabole (P) et une ellipse (E) représentées respectivement par les deux équations

(P) y2 — Sx = 0, (E) y2 + ix2 — A = 0,

et un point M de coordonnéss (a, p). On demande de trouver sur la parabole (P) un point Q, tel que le pôle de la droite MQ, par rapport à l'ellipse (K), soit situé sur la tangente en Q à la parabole.

Trouver le nombre des solutions réelles du problème, suivant la position du point M dans le plan.

1890. I. Entre les coordonnées x, y d'un point A et les coordonnées u, v d'un point B, on établit les relations

u3 + \uv2 v3-{- \vu*

où X est un nombre positif donné.

Après avoir déduit de ces relations l'équation qui relie les coefficients, angulaires a, (3 des droites qui joignent l'origine aux points A, B, on montrera que, en général, à chaque point A correspondent trois positions du point B : ces points B^ B2, B3 peuvent-ils être réels et distincts? Où le point A doit-il se trouver pour qu'il en soit ainsi? Sur quel lieu doit-il être situé pour que deux de ces points (B2 et B3, par exemple) soient confondus? Si le point A décrit ce lieu, quels sont les lieux décrits parles points confondus B2, B3 et par le point B, ?

1891. Soit E une ellipse qui, rapportée à ses axes, a pour équation

et soierie x0, y0 ies coordonnées d'un point M du plan de cette ellipse; on