QUESTIONS DIVERSES

considère le cercle (C) passant par le point M et les points de contact P, Q des tangentes à l'ellipse issues du point M.

1° Le cercle (C) rencontre l'ellipse en deux autres points P', Q'; prouver que les tangentes à l'ellipse en ces deux points se coupent en un point M' situé sur le cercle ; montrer que par M, M' et les deux foyers réels on peu£ faire passer un cercle; de môme par M, M' et les deux foyers imaginaires.

£° Soient I, V, 1" les points où se coupent respectivement les droites PQ, P'Q', les droites PQ', P'Q, enfin les droites PP', QQ' ; on suppose que le point M reste fixe et que l'ellipse (E) se déforme en gardant les mêmes foyers : on demande les lieux décrits par les points \, 1', l" ; on propose enfin de montrer que tout cercle passant par les points F, I" est orthogonal au cercle décrit sur MM' comme diamètre.

1892. Un cercle G est représenté en coordonnées rectangulaires par l'équa1 ion

4° On demande de former l'équation générale des coniques A qui sont doublement tangentes au cercle G, de telle façon que la corde qui joint les deux points de contact passe par l'origine des coordonnées, et qui sont en outre tangentes à la droite D ayant pour équation

y = x v/3 + sjT.

2° Par un point quelconque M du plan, de coordonnées a, (3, il passe en général deux coniques de cette espèce A', A"; où le point M doit-il se trouver pour que ces coniques soient réelles?

3° Les deux coniques A', A" qui passent au point M ont trois autres points communs M,, M2, M3, dont on demande de calculer les coordonnées en fonction des coordonnées a, (3 du point M.

4° Former l'équation de l'hyperbole équilatère H, qui passe par les quatre points M, M,, M2, M3, et montrer que cette hyperbole passe par quatre points fixes, quand le point M se déplace.

5e Trouver le lieu des points d'intersection des deux coniques A', A" et l'enveloppe de leurs sécantes communes, lorsque les cordes de contact do ces deux coniques avec le cercle G sont perpendiculaires. — Quelle est, dans ce même cas, l'espèce des coniques A', A"?

N. B. — On prendra pour paramètre variable le coefficient angulaire m de la corde de contact de la conique A avec le cercle G.

ÉGOLE CENTRALE

1880. (Première session.) Soient Ox, Oy, deux axes rectangulaires et sur Ox un point A, sur Oy un point B. On mène par le point A une droite quelconque AR, de coefficient angulaire m.

4° Former l'équation de l'hyperbole A qui est tangente à l'axe Ox au point 0, qui passe par le point B, et pour laquelle AR est une asymptote.

2° On fait varier m et on demande le lieu décrit par le point de rencontre de la tangente en B à l'hyperbole H et de l'asymptote AR.

3° On considère le cercle circonscrit au triangle AOB; ce cercle coupe l'hyperbole H aux points 0 et B, et en deux autres points P et Q. Former l'équation de cette droite PQ ; puis, faisant varier m, trouver successivement les lieux des points de rencontre de cette droite PQ avec les parallèles menées par le point 0, soit à l'asymptote AR, soit à la seconde asymptote de l'hyperbole II.

188<J. (Deuxième session.) 1° Écrire l'équation générale des paraboles

GÉOM. ANALYT. 47

passant par deux points donnés A et B et dont les diamètres ont une direction donnée;

2° Donner l'expression des coordonnées du sommet et du foyer de ces paraboles ;

3° On mène à chaque parabole une tangente perpendiculaire à la droite AB, trouver le lieu des points de contact et construire ce lieu.

1881. {Première session.) Soit a2y2 + b2x2 = a262 l'équation d'une ellipse rapportée à son centre 0 et à ses axes; soient a, et p, les coordonnées d'un 'point P situé dans le plan de cette ellipse.

1° Démontrer que les pieds des normales menées à cette ellipse par le point P sont situés sur l'hyperbole représentée par l'équation

c2xy + b'1 (3a; — a2ay = 0 ,

dans laquelle c2 = a2 — b2 ;

2° On considère toutes les coniques qui passent par les points A, B, C, D, communs à l'ellipse proposée et à cette hyperbole; dans chacune d'elles on mène le diamètre conjugué à la direction OP et on projette le point 0 sur ce diamètre : trouver le lieu de cette projection;

3° Par les points A, B, C, D, on peut faire passer deux paraboles : trouver le lieu du sommet de chacune d'elles quand le point P se meut sur une droite de coefficient angulaire donné m, menée par le point 0.

On examinera le cas particulier où m = jj et celui où m = — p- .

1881. (Seconde session.) On donne une parabole (y2 = ^px) rapportée à son axe et à son sommet et un point P(a, 6) dans le plan de la courbe.

i° Démontrer que, du point P, on peut en général mener trois normales à la parabole : former l'équation du troisième degré qui donne les ordonnées des pieds A,B, G de ces normales;

% Démontrer que chacune des deux courbes

xy + (p — *)y— pP=o,

y2+%x2 — $y — 2aa? = 0

passe parles quatre points A, B, C, P, et trouver l'équation générale de toutes les coniques passant par ces quatre points ;

3° Chacune de ces coniques coupe la parabole donnée aux trois points fixes A, B, C, et un quatrième point D, trouver les coordonnées du point D;

1° Par le sommet de la parabole donnée, on imagine deux droites parallèles aux asymptotes de l'une quelconque des coniques précédentes; on mène la droite joignant les points d'intersection de ces deux droites avec la conique, et on la prolonge jusqu'à sa rencontre avec la parallèle DD menée à l'axe de la parabole par le point D.

Former et discuter l'équation du lieu de ce point de rencontre.

188&. {Première session.) Soit -^ + ^ = d , l'équation d'uhi ellipse rapportée à son centre et à ses axes, et soient a et p les coordonnées d'un point P situé dans le plan de l'ellipse.

Former l'équation générale des coniques qui passent par les points de contact M et M' des tangentes menées du point P à l'ellipse et par les points Q et Q' où cette ellipse est rencontrée par la droite qui correspond à l'équa-

Disposer dn paramètre (ji et de l'autre paramètre variable que contient l'équation générale, de manier» qu'elle représente une hyperbole équilatère passant par le point P.

On fait mouvoir Jo point P sur la droite représentée par l'équation x -f- y = J, et l'on demande :

4° Le lieu décrit par la projection du centre de l'ellipse sur QQ';

2° Le lieu décrit par le point de concours des cordes MM' et QQ'.

Démontrer que ce dernier lieu passe par deux points fixes, quel que soit i, et déterminer ces points.

Chercher pour quelles valeurs de l ce lieu se réduit à deux droites, et déterminer ces droites.

188S. (Seconde session.) On donne dans un plan deux axes de coordonnées rectangulaires, Ox, Oy, et deux points H et H', le premier défini par ses coordonnées a et 6, et le second symétrique du premier par rapport au point 0. Par ce dernier point 0 on mène une droite indéfinie DOE, formant avec l'axe Ox un angle DOx==0, on projette les points II et H' sur cette droite en h, h'. On projette le point h en u sur l'axe Ox, et le point u en ut sur la droite DOE; on projette le point h en v sur Taxe Oy, et le point v en vA sur la droite DOE; toutes ces projections sont orthogonales. Enfin, sur la longueur u{ vï comme hypothèse, on construit un triangle rectangle u{ vA S, en menant w,S parallèle à 0#, et vtS parallèle à Oy. Gela posé, on demande :

1° De trouver les coordonnées du point S, en fonction des trois constantes a, b, 0;

2o D'écrire l'équation d'une parabole ayant le point S pour sommet et la droite DOE pour directrice;

3o De démontrer que le lieu des foyers de toutes les paraboles, en faisant varier l'angle 6, se compose d'un système de circonférences de cercle :

4° De démontrer que toutes ces paraboles sont tangentes aux axes de coordonnées;

5<> De démontrer que les cordes de leurs contacts avec ces axes se croisent en un même point.

1884» (Première session.) On donne l'équation a'2?/2 — b2x2 + a2b2 = 0, d'une hyperbole rapportée à son centre et à son axe, et l'équation y — Kx = 0 d'une droite menée par le centre de cette hyperbole.

I. Former l'équation générale des coniques qui passent par les points réels ou imaginaires communs à l'hyperbole et à la droite données, et qui de plus sont tangentes à l'hyperbole en celui des deux sommets de cette hyperbole qui est situé sur la partie positive de l'axe des x. Discuter cette équation générale et reconnaître la nature des coniques qu'elle peut représenter.

II. Trouver le lieu des centres des coniques représentés par l'équation générale précédente. Ce lieu est une conique A, chercher un nombre de points et de tangentes suffisant pour déterminer géométriquement cette conique À.

III. Trouver le lieu des points de contact des tangentes menées à la

conique A, parallèlement à la droite de coefficient angulaire-, quand on

ait varier K. — On vérifiera que l'équation de ce dernier lieu, qui est du troisième degré, représente trois droites.

1885. On donne deux axes rectangulaires ox, oy et le cercle représenté par l'équation :

On considère la corde fixe AB menée par l'origine et partagée par ce point en deux parties égales, et une corde mobile CD, de direction constante dont le coefficient angulaire est égal et de signe contraire à celui de la corde fixe AB.

On sait que, par les quatre points A, B, C, D, on peut faire passer deux paraboles P, P'.

Trouver, quand la corde CD se déplace parallèlement à elle-même :

1° Le lieu du point de rencontre des axes des deux paraboles Pet P'.

2° Le lieu du sommet et le lieu du foyer de chacune de ces paraboles,

1885-2. On donne, dans un plan, deux axes de coordonnées rectangulaires ox, oy et une droite AB définie par son coefficient angulaire m et son ordonnée à l'origine b et l'on demande :

4° De trouver la direction des diamètres des paraboles tangentes à l'axe des y au point B où il est coupé par la droite AB et ayant leurs foyers sur cette dernière droite ;

2° D'écrire l'équation générale de ces courbes;

3o De construire le lieu de leurs sommets ;

A° De construire le lieu des points où leurs tangentes sont parallèles à l'axe des x-,

5° De construire le lieu des pôles de l'axe des x relativement aux paraboles considérées.

(En d'autres termes, par les deux points d'intersection de chaque parabole avec l'axe des x, on mène des tangentes à la courbe et on demande de trouver le lieu des points d'intersection de ces tangentes).

1886. (Première session.) On donne une ellipse rapportée à son centre et à ses axes, et, dans son plan, un point P dont les coordonnées sont a et [3, et l'on considère toutes les paraboles bitangentes à l'ellipse en des points tels que la corde des contacts passe par le point P :

d° Former l'équation générale de ces paraboles;

2° Montrer que, en général, par tout point Q du plan, passent deux des paraboles considérées, et reconnaître que les régions du plan, dans lesquelles doit se trouver le point Q pour que ces deux paraboles soient réelles, sont limitées par l'ellipse donnée et par une droite;

3° Trouver le lieu des positions que doit occuper le point Q pour que les axes des deux paraboles considérées qui passent par ce point soient rectangulaires ;

4° Trouver le lieu du point de rencontre de l'axe de chacune des paraboles considérées avec la corde des contacts de cette parabole et de l'ellipse. L'équation de ce lieu est du quatrième degré ; on transportera les axes de coordonnées parallèlement à eux-mêmes, en prenant pour nouvelle origine le point P, et, cela fait, on montrera que l'équation du lieu peut être décomposée en deux équations de second degré.

1886-2. Soit un rectangle OACB dont les côtés OA = a et OB = b, prolongés, sont pris, le premier pour axe des x, le second pour axe des y. On considère toutes les coniques qui passent par les trois points 0, A, B, et pour lesquelles la polaire du point C est parallèle à la droite AB.

1° Former l'équation générale de ces coniques. Trouver le lieu de leur centre, et, sur ce lieu, séparer les parties qui contiennent des centres d'ellipses de celles qui contiennent des centres d'hyperboles.

2° A chacune de ces coniques, on mène la normale au point A et la

normale au point B; trouver le lieu du point de rencontre de ces deux normales.

3° Soit A une quelconque des coniques considérées; si, par le point G, on mène à cette conique des normales, on sait que les pieds de ces normales sont les points de rencontre de la conique A et d'une certaine hyperbole équilatère. Former l'équation de cette hyperbole équilatère, et chercher le lieu du centre de cette hyperbole, quand la conique A varie.

188^-1. On considère toutes les coniques qui ont un foyer en un point donné F, et qui passent par deux points donnés A et B.

lo Montrer que ces coniques forment deux séries telles que, pour toute conique d'une série, la directrice correspondant au foyer F passe par un point fixe de la droite AB, situé entre A et B, tandis que pour toute conique de l'autre série la directrice correspondant au foyer F passe par un point fixe de la droite AB, non situé entre A et B.

2° Trouver le lieu des centres des coniques considérées et montrer qu'il se compose de deux coniques homofocales.

3° Prenant un point G sur le heu précédent, reconnaître, d'après la position qu'il occupe sur ce lieu, si la conique considérée dont le point G est centre est telle que les points A et B sont sur une même branche ou sur deux branches différentes de cette conique.

&° Si le point G est tel que les points A et B sont sur une môme branche de la conique considérée, reconnaître, d'après la position du point G, si cette conique est du genre ellipse, ou du genre hyperbole, et, dans ce dernier cas, si les points A et B sont sur la branche voisine du point F, ou sur l'autre.

Nota. — On prendra pour axe des x la droite AB et pour axe des y la perpendiculaire à cette droite menée par le milieu de AB.

188^-2, On donne deux axes rectangulaires Ox et Oy, un point A sur Oa\ un point B sur Oy,

OA = a, OB = b.

io Écrire l'équation générale des paraboles qui passent par les trois points 0, A, B. Montrer qu'en général il passe par chaque point M du plan deux de ces paraboles. Trouver le lieu des points M pour lesquels les deux paraboles sont confondues, et indiquer la région du plan qui contient les points où il n'en passe aucune réelle.

2° Trouver le lieu des points M tels que les axes des deux paraboles qui y passent forment entre eux un angle donné a. Construire le lieu pour le cas où a = 90°.

3o Trouver le lieu du point de chacune de ces paraboles pour lequel la tangente est parallèle à OB, celui du point où la tangente est parallèle à OA, celui où la tangente est parallèle à AB.

Ces lieux sont trois coniques. Construire ces coniques, vérifier que deux quelconques d'entre elles n'ont pas de point commun réel à distance finie; marquer leurs centres D, E, F, et comparer le triangle DEF au triangle OAB.

4.0 On joint l'origine 0 au point F, centre de la conique, lieu du point de contact des tangentes parallèles à AB; et, à cette droite OF, on élève au point 0 une perpendiculaire qui rencontre la droite AB en P. On

demande le lieu du point P lorsque, le point A restant fixe, le point B parcourt l'axe des y.

1888-4. Étant donnés deux axes rectangulaires Ox, Oy et un point A sur l'axe des x, on considère le faisceau des coniques pour lesquelles l'axe des y est une directrice et le point A un sommet de l'axe focal. Par un point quelconque M du plan des axes passent deux coniques de ce faisceau, réelles ou imaginaires.

lo Déterminer les parties du plan dans lesquelles doit être le point M pour que les deux coniques du faisceau qui passent par ce point soient réelles, et celles où il doit être pour que les deux coniques soient imaginaires. (La ligne de séparation est de degré supérieur au second.)

2o Reconnaître, d'après la position d'un point par lequel passent deux coniques réelles, le genre de ces coniques.

3o Trouver le lieu des points de contact des tangentes menées de l'origine des coordonnées à toutes les coniques du faisceau considéré.

1888-2. On donne une ellipse rapportée à ses axes

aV + b2x2 = a2b2

et, dans son plan, un point P (p, q) par lequel on mène deux droites parallèles aux bissectrices des angles des axes. On considère toutes les coniques passant par les points d'intersection de ces droites avec l'ellipse donnée. Écrire l'équation générale de ces coniques; trouver le lieu de leurs centres et distinguer les portions de cette courbe qui correspondent à des centres d'ellipse ou à des centres d'hyperbole.

On prend la polaire de l'origine des coordonnées par rapport à chacune des coniques et on abaisse, du point P, une perpendiculaire sur cette polaire. Trouver le lieu des pieds de ces perpendiculaires. — Parmi les coniques considérées se trouvent deux paraboles; trouver leurs foyers pour une position donnée du point P et les lieux de ces foyers lorsque le point P parcourt ; 1° une des bissectrices des axes de l'ellipse donnée; 2° la circonférence circonscrite au rectangle des axes de cette ellipse.

1889-1. Soient Ox, Oy deux axes rectangulaires et une droite LL' parallèle à Oy dont l'équation est # — a = 0. On considère le faisceau des paraboles qui passent par le point 0 et qui ont la droite LL' pour directrice.

lo Trouver le lieu du foyer et le lieu du sommet de chacune de ces paraboles.

2o Par un point quelconque du plan xOy passent deux des paraboles considérées, réelles ou imaginaires; déterminer la région du plan dans laquelle doit être ce point pour que les deux paraboles soient réelles.

3o Étant données les coordonnées d'un point M du plan xOy, former l'équation qui a pour racines les coefficients angulaires des tangentes au point 0 aux deux paraboles du faisceau considéré qui passent par ce point M. En déduire l'équation de la ligne S sur laquelle doit se trouver le point M pour que les tangentes au point 0 aux deux paraboles du faisceau qui passent au point M soient rectangulaires.

4.0 Soit M un point situé sur la ligne S, et soient F, F', les foyers des deux paraboles du faisceau considéré qui passent par ce point, démontrer

que, lorsque le point M se déplace sur la ligne S, la droite FF' tourne autour d'un point fixe.

1889-11. 1° Démontrer que les coniques représentées par l'équation

(A) (1 — m2)x2 -f- y2 -f- %mrx — r'2 = 0,

où l'on suppose m variable, ont deux points communs et que, si les axes de coordonnées sont rectangulaires, elles ont en outre un foyer commun.

2° Trouver l'équation (B) de la conique assujettie aux conditions suivante : passer par l'origine, être tangente à une des coniques représentées par (A) en un point P (x', y') pris sur cette courbe et enfin passer par les deux projections du point P sur les axes de coordonnées.

3° Trouver le lieu des points de contact, avec les courbes représentées par (A), des tangentes issues d'un point (x = 0, y —h) de l'axe des y, lorsqu'on fait varier m.

4° Trouver le lieu des centres des courbes (B) correspondantes à une courbe fixe (A) quand on fait varier la position du point P sur cette courbe.

S0 Discuter l'équation (B) en supposant que l'on déplace le point P sui une des courbes représentées par l'équation (A); séparer les parties qui répondent à des ellipses, celles qui répondent à des hyperboles, et trouver le lieu des points de séparation lorsque l'on fait varier m.

1890. Première session. — On donne deux axes rectangulaires x'Ox, y'Oy et deux points A et B symétriques par rapport au point 0.

1° On prend, sur l'axe des x, un point quelconque P et l'on considère la parabole (P) qui est tangente aux droites PA et PB au point A et au point B. Lieu du foyer et lieu du sommet de cette parabole quand P parcourt x' Ox.

2° On prend sur l'axe des y un point quelconque Q, et l'on considère la parabole (Q) qui est tangente aux droites QA, QB au point A et au point B. Ces deux paraboles (P) et (Q) qui correspondent ainsi à un point P pris sur xrOx et à un point Q sur y'Oy se coupent aux points A, B et en deux autres points G, D. Former l'équation de la droite CD et trouver le lieu décrit par les points G, D, quand P, Q se déplacent l'un sur x'Ox, l'autre sur y'Oy, de façon que l'abscisse du premier soit toujours égale à l'ordonnée du second.

Seconde session. — On donne une parabole rapportée à deux axes rectangulaires Ox, Oy\ cette parabole a son axe parallèle à l'axe des y; elle passe par l'origine et par un point pris sur Ox et dont l'abscisse est l; enfin elle admet une ordonnée maxima égale à f.

On donne, en outre, une droite passant par l'origine et par un point A (x=l, y=h).

1° Démontrer que si, pour une abscisse déterminée, on porte en ordonnée la somme algébrique de l'ordonnée de la droite et de celle de la parabole correspondant à cette abscisse, l'extrémité de cette ordonnée est sur une parabole (P), égale à la première;

2° Démontrer que les axes des coniques qui passent par l'intersection d'un cercle et d'une conique sont parallèles aux axes de celle-ci;

3° Une circonférence de cercle décrite sur OA, comme diamètre, coupant la parabole (P) en quatre points 0, A, B, G, chercher le lieu du point d'intersection des sécantes communes OA. BC, quand on fait varier h et construire ce lieu qui n'est pas du deuxième degré.

4e Chercher la valeur du rapport - pour laquelle le cercle décrit sur OA

comme diamètre est tangent à ia parabole, quel que soit h.

1891. Première session. — On donne deux axes rectangulaires Ox, Oy et sur l'axe de x un point A dont l'abscisse est a. On considère le faisceau des ellipses pour lesquelles le p oint 0 est un sommet d'axe non focal, et la parallèle à Taxe des y, menée par le point A, une directrice.

I. Démontrer que la condition nécessaire et suffisante pour que deux ellipses du faisceau considéré passent par un point donné P, est que ce point soit à l'intérieur du cercle qui a le point 0 pour centre et OA pour rayon.

IL Démontrer que ce cercle a un double contact, réel ou imaginaire, avec chacune des ellipses du faisceau.

III. Limiter les régions du plan dans lesquelles doit être situé un point P :

1° Pour qu'une seule des deux ellipses du faisceau qni passent par ce point ait, avec le cercle, un double contact réel;

2° Pour que chacune des deux ellipses du faisceau qui passent par ce point ait avec le cercle un double contact réel;

3e Pour qu'aucune des deux ellipses n'ait avec le cercle un double contact réel.

IV. Lieu des pieds des normales menées, par le point 0, à toutes les ellipses du faisceau.

Secjndi session. — On donne deux axes rectangulaires et un cercle G

passant par l'origine et dont le centre a pour coordonnées x = — -,

y = . Dans ce cercle, on mène deux cordes de longueurs d passant par

Forigine. D'un point de l'axe x, dont l'abscisse est p, on mène des droites perpendiculaires à ces cordes.

1° Trouver l'équation A du lieu des points tels que le produit de leurs distances aux cordes soit dans un rapport donné 1 avec le produit de leurs distances aux droites perpendiculaires à ces cordes; lieu des centres des coniques représentées par l'équation A, quand X varie;

2° Discuter la nature des coniques représentées par l'équation A;

3° Le rapport \ étant choisi de façon que la conique A devienne un

cercle, trouver le lieu du centre delà courbe lorsque le centre du cercle G

d'2 décrit l'hyperbole x2 -f- nxy = -j--

1892. Première session. — On donne dans un plan deux axes rectangulaires Ox, Oy et une droite D dont l'équation est A se + By -f C = 0 ; sur cette droite, on prend un point quelconque M de coordonnées a, b, et à ce point on fait correspondre les deux paraboles qui ont toutes deux le point 0 pour foyer et l'une la droite x = a, l'autre la droite y = b pour directrice.

4° Démontrer que ces deux paraboles ont, en général, deux points communs réels et deux points communs imaginaires, et former, selon la position du point M de la droite D, l'équation de la droite qui passe par les deux points réels communs aux deux paraboles;

2° Trouver le lieu des points communs aux deux paraboles que l'on fait ainsi correspondre à un point M, quand ce point M parcourt la droite D. Ce lieu se compose, en général, d'une ellipse et d'une hyperbole; distinguer, sur la droite D, la partie que parcourt le point M quand les points

communs aux deux paraboles sont sur l'ellipse, de celles qu'il parcourt quand ces points sont sur l'hyperbole ;

3° Vérifier analytiquement et expliquer géométriquement les faits suivants :

Soit P Je point de rencontre de la droite D avec l'un des axes, et soient, sur l'autre axe, de part et d'autre du point 0, les points P' et P" tels que l'on ait OP' = OP" = OP. L'une des deux coniques du lieu passe par P' et l'autre par P", et les tangentes au lieu, au point P' et au point P" sont les droites PP', PP".

Construire le lieu en supposant que l'équation de la droite D est x + 2y + 2 = 0.

1° Le lieu demandé est, en général, composé d'une véritable ellipse et d'une véritable hyperbole; trouver- les divers cas particuliers pour lesquels il en est autrement, et, dans chacun de ces cas, reconnaître ce que deviennent les deux coniques du lieu.

Seconde session. — On donne deux circonférences dont les centres sont 0 et G, OG = fl.

Par le point A (p. q) d'intersection de ces deux circonférences, on mène deux sécantes BAE et DAG ayant une longueur commune 21. Ces deux sécantes coupent l'axe des y et sa parallèle, menée par C, en des points M, N et V, Q.

1° On demande de former l'équation générale des coniques passant par les quatre points M, N, P, Q;

2° On assujettit les coniques à passer par un point du plan; reconnaître le genre de la conique d'après la position du point ;

3° Trouver le lieu des centres de ces coniques;

4° Trouver le lieu du point de rencontre des droites BG et DE, quand on fait varier la longueur 21. (Voyez à la fin pour 1893.)