AGRÉGATION DES SCIENCES MATHÉMATIQUES

18o9. Trouver le lieu géométrique des points dont les distances à deux droites données (non situées dans un même plan) ont entre elles un rapport constant.

Quelles sont les surfaces du second degré auxquelles s'applique ce mode de génération, et quelle est la situation des deux droites à l'égard de ce surfaces?

1860. Trouver et discuter l'équation de la surface engendrée par une parabole du second degré qui se meut parallèlement a elle-même, de manière que, dans chacune des positions de son plan, elle rencontre en deux points une autre courbe du second degré fixe et donnée en dehors de ce plan.

1861. Étant donnés un triangle AB^ et un point P situé dans son plan, on mène par ce point une droite quelconque qui rencontre les côtés du triangle ou leurs prolongements en A', B', C' ; puis on prend sur cette droite un point M tel que l'on ait

PB' + MB' A'B'2

PG' + Ml/-^ On demande le lieu géométrique du point M. On s'assurera d'abord que l'équation du lieu contient un facteur linéaire.

1862. Étant données deux droites non situées dans un même plan, on fait passer par ces droites un parabole hyperbolique auquel on mène un

plan tangent parallèle à un plan fixe et donné. On demande le lieu du point de contact.

1863. Trouver le lieu d'une droite s 'appuyant sur un cercle et sur deux droites fixes qui rencontrent le cercle. Dans quel cas les plans qui passent par une génératrice et par les deux droites fixes sont-ils constamment rectangulaires? Trouver dans ce cas les secondes sections circulaires de la surface.

1864. Sur le grand axe d'une ellipse, on décrit un cercle dans lequel on trace deux rayons OP, OQ, faisant entre eux un angle constant : on projette P et Q en D et E sur l'ellipse : en D on élève perpendiculairement au plan de l'ellipse une droite de longueur constante h dont on joint l'extrémité au point E; lieu de cette dernière droite, quand l'angle constant POQ tourne autour de son sommet.

1865. Étant donnée une sphère, dont le rayon sera pris pour unité, et un cylindre droit ayant pour base une ellipse de même centre que la sphère, et dont les axes seront représentés par les constantes sin. a et sin. b, démontrer : 1° qu'il existe sur ia sphère deux points F et F' tels que la somme des arcs de grands cercles MF et MF', aboutissant à un point quelconque M de la courbe d'intersection, est constante ; 2° que ces deux arcs font des angles égaux avec la tangente au point M.

Construction graphique des deux points F et F' ; examen du cas particulier où la somme MF + F' est égale à une circonférence de grand cercle.

1866-4. On donne deux paraboloïdes hyperboliques, semblables, semblablement placés et ayant le même axe principal. On mène à l'une de ces surfaces des plans tangents qui coupent l'autre suivant des hyperboles équilatères; on demande le lieu des points de contact de ces plans.

1866-2. Présenter géométriquement (dans la partie du cours relative aux courbes usuelles) les propriétés principales des diamètres conjugués et des cordes supplémentaires de l'ellipse.

1867. Une ellipse et une droite étant données dans un même plan, on propose de trouver le lieu des points tels que les tangentes menées de chacun d'eux à l'ellipse interceptent sur ia droite une longueur constante.

1868. Étant données dans un plan deux paraboles du deuxième degré, on les fait tourner autour de leurs sommets supposés fixes, de manière que, dans chacune de leurs positions, leurs quatre points d'intersection soient sur une circonférence, et l'on demande le lieu du centre de cette circonférence.

1869. On donne une série de surfaces du second ordre, homofocales et à centre : d'un point fixe P, pris dans l'un de leurs plans principaux, on abaisse des normales sur ces diverses surfaces, et l'on demande :

4° De trouver et de construire le lieu des pieds de ces normales; 2° De déterminer l'enveloppe des plans tangents menés aux surfaces par les pieds des normales.

1871 1. On donne trois points fixes A, B, C : on demande de trouver le lieu des centres des ellipsoïdes de révolution pour lesquels ces trois points fixes sont les extrémités des trois diamètres conjugués.

1872. On donne deux droites fixes A et A' qui ne se rencontrent pas • par ces deux droites on fait passer des surfaces (S) du second ordre, pour