Il n'y a pas eu de concours en

lesquelles la somme des carrés des longueurs algébriques des axes ainsi que le produit de ces mêmes longueurs sont des quantités constantes et données.

4° Trouver le lieu des centres des surfaces (S).

2° Considérant une quelconque des surfaces (S) et le centre I de cette surface, on mène par le point I une droite rencontrant les deux droites fixes en D et D' ; calculer la distance DD'.

3° Par les points D et D', on mène des plans respectivement perpendiculaires aux droites À et À'; trouver le lieu des intersections de ces plans.

1873. On donne un hyperboloïde à une nappe, sur lequel on prend une génératrice déterminée G. En un point quelconque P de cette génératrice, on mène la normale à la surface ; on suppose que cette normale, considérée comme un rayon incident, se refléchit, suivant la loi connue, sur le plan de l'ellipse de gorge. On demande : 1° la surface engendrée par Je rayon réfléchi, lorsque le point P se déplace sur la génératrice G; 2° l'enveloppe des sphères ayant pour centre le point d'incidence et pour rayon la distance du point d'incidence au point P.

1874. On donne une ellipse et une hyperbole homofocales; on imagine une conique quelconque C, doublement tangente à chacune des coniques données. On demande de trouver et de discuter le lieu des points de rencontre des tangentes à l'ellipse et à l'hyperbole aux points où ces courbes sont touchées par la conique variable G-

1875. À un ellipsoïde donné on circonscrit une série de surfaces du second ordre 2, la courbe de contact étant l'intersection de l'ellipsoïde par un plan fixe P. On circonscrit ensuite à chaque surface £ un cône ayant pour sommet un point donné A :

4° Trouver le lieu des courbes de contact des cônes et des surfaces S : 2° Classer les surfaces qui forment le lieu, quand on suppose le plan P fixe et le point A mobile dans l'espace.

(On déterminera, pour chacune des variétés du lieu> les surfaces qui limitent les régions de V espace où se trouve alors le point A.)

1876. On donne une parabole P et un point H dont la projection orthogonale sur le plan de la parabole se fait au sommet de cette parabole :

1° Trouver l'équation générale des surfaces de révolution du second ordre qui passent par la parabole P et par le point H.

2° Déterminer le nombre de celles de ces surfaces dont l'axe passe par un point A donné dans le plan Q, qui contient le point H et l'axe de la parabole P.

Classer les mêmes surfaces quand le point A se meut dans le plan Q.

•1877. On donne un ellipsoïde et un point A :

•1° Trouver un point B tel que, en menant par ce point un plan quelconque P, la droite AB soit toujours l'un des axes du cône qui a pour sommet le point A et pour base la section de l'ellipsoïde par le plan P.

2° Le problème a, en général, trois solutions : trouver pour quelles positions du point A le nombre des solutions devient infini.

3° Le point A restant fixe, on suppose que l'ellipsoïde se déforme de façon que trois sections principales conservent les mêmes foyers, et l'on demande J<e lieu que décrit alors le point B.

1878. On donne une sphère S, un plan P et un point A; par le point A on mène une droite qui rencontre P en un point B; puis sur AB comme

7JS QUESTIONS D'EXAMENS.

diamètre on décrit une sphère S' ; le plan radical des sphères S et S' rencontre la^droite AB en un point M.

1° Trouver le lieu décrit par le point M quand la droite AB tourne autour du point A.

2° Discuter le lieu précédent, en supposant que le point A se déplace dans l'espace, le plan P et la sphère S restant fixes.

1879. On donne un hyperboloïde à une nappe et un point A. On considère un paraboloïde circonscrit à l'hyperboloïde et tel que le plan P de la courbe de contact passe par A. Soit M le point d'intersection de ce paraboloïde avec celui de ses diamètres qui passe par A ; soit Q le point de rencontre de P avec la droite qui joint le point M au pôle du plan P, par rapport à l'hyperboloïde.

Le plan P tournant autour de A, on demande :

1° Le lieu du point M ;

2° Le lieu du point Q. Ce second lieu est une surface du second degré S, que Ton discutera en faisant varier la position du point A dans l'espace ;

3° Le lieu des positions que doit occuper le point A, pour que S soit de révolution.

1880. On donne un ellipsoïde et l'on considère un cône ayant pour base la section principale de l'ellipsoïde perpendiculaire à l'axe mineur ; ce cône coupe l'ellipsoïde suivant une seconde courbe située dans un plan Q.

4° Le sommet du cône se déplaçant dans un point donné P, trouver le lieu décrit par le pôle de R, par rapport à l'ellipsoïde.

2° Ce lieu est une surface du second degré 2; on demande de déterminer les positions du pian P pour lesquelles le cône asymptote de S a trois génératrices parallèles aux axes de symétrie de l'ellipsoïde.

3° Le plan P se déplaçant de façon que 2 satisfasse aux conditions précédentes, trouver le lieu des foyers des sections faites dans ces surfaces S par un plan fixe R perpendiculaire à l'axe mineur de l'ellipsoïde.

4° Trouver la surface engendrée par la combe, lieu de ces foyers, quand le plan R se déplace, parallèlement à lui-même.

1881. Voyez page 683. Exercice 6.

188S. On donne une ellipse et un point P dans son plan :

1° Trouver le nombre des cercles osculateurs à l'ellipse tels que chacune des cordes communes à l'ellipse et à ses différents cercles passe par le point P;

2° Trouver pour chacune des positions du point P combien de ces cercles sont réels;

3° Démontrer que les points de contact de l'ellipse et des cercles osculateurs sont sur un même cercle C;

4° Trouver l'enveloppe E des cercles C, quand le point P décrit l'ellipse donnée ;

5° La courbe E peut être considérée comme l'enveloppe d'une série de cercles qui coupent à angle droit un cercle fixe et dont les centres sont une conique. Chercher de combien de manières différentes est susceptible ce mode de génération.

1883. D'un point donné P on mène des normales à un ellipsoïde donné.

4° Démontrer que par les pieds de ces six normales on peut faire passer une infinité de surfaces du second ordre S concentriques à l'ellipsoïde ;

QUESTIONS D'EXAMENS. 7i9

2° Trouver le lieu que doit décrire le point P pour que *es surfaces S soient de révolution ;

3° Déterminer le cône lieu des axes de révolution des surfaces S;

4° Sur la section de ce cône par un plan perpendiculaire à l'axe mineur de l'ellipsoïde, indiquer les points par lesquels passe l'axe de révolution quand la surface S est un ellipsoïde, un hyperboloïde à une ou deux nappes, un cône, un cylindre ou un système de deux plans parallèles.

1884. On donne une ellipse et une hyperbole situées respectivement dans deux plans rectangulaires P, Q et pour chacune desquelles la droite d'intersection des plans P et Q est un axe de symétrie.

1° On considère tous les plans R. tangents à la fois à l'ellipse et à l'hyperbole et l'on propose de démontrer qu'il existe une infinité de surfaces du second ordre S tangentes à la fois à tous les plans ft.

2° Tronver le lieu des centres des surfaces S et déterminer la nature de chacune de ces surfaces, suivant la position occupée par son centre.

3° Trouver les conditions nécessaires et suffisantes pour que les surfaces S soient homofocaies.

1885. 4° On donne une sphère S et, sur cette sphère, un cercle C et un point T; démontrer qu'il y a deux paraboloïdes passant par le cercles G et tangents à la sphère au point T.

2° Démontrer que les axes de ces paraboloïdes sont dans un même plan et trouver le lieu de leur point d'intersection quand le point T se meut sur la sphère.

3° Dans ies mêmes conditions, trouver le lieu des sommets de ces paraboloïdes.

4° Soient T et Tf deux points diamétralement opposés sur la sphère. Au point T correspondent deux paraboloïdes P et Q ; au point T' correspondent deux autres paraboloïdes P' Q'. — Trouver le lieu engendré par la courbe d'intersection de chacun des paraboloïdes P et Q avec chacun des paraboloïdes P' et Q' quand on fait varier la direction du diamètre T T'

1886. Étant donnés dans un plan une droite D, un point 0 sur cette droite et une droite D' :

1° Former l'équation générale des coniques qui touchent la droite D au point 0 et qui ont D' pour directrice ;

2° Démontrer que deux de ces coniques passent par un point quelconque P du plan; déterminer les régions du plan où doit se trouver le point P pour que ces deux courbes soient réelles et, dans ce cas, en reconnaître le genre ;

3° Les deux coniques du faisceau considéré se coupent en outre en un point P'; calculer les coordonnées du point P' en fonction de celles du point P et, en supposant que le point P décrive une ligne C, trouver quelle doit être la forme de l'équation de cette ligne pour que le point F décrive la même ligne.

1887. 1° Démontrer que le lieu des points tels que les tangentes menées de chacun d'eux à une conique S soient conjuguées harmoniques par rapport aux tangentes menées du même point à une autre conique S', est une troisième conique 2 qui passe par les points de contact A, B, G, D et A', B', G', D', des tangentes communes aux deux coniques S et S'.

2° La conique S étant une ellipse donnée, et la conique 2 un cercle donné, trouver l'équation de la conique S'.

3° Démontrer qu'il existe quatre cercles réels passant chacun par deux des foyers de la conique S et deux des foyers de la conique S'.

4° Soient A et A' les points de contact des coniques S et S' avec une de

leurs tangentes communes; démontrer que si le point A' est la projection du centre de la conique S sur la tangente AA', les normales à la conique S7, aux points B', G', D', se coupent en un point M qui reste fixe quand le cercle 2 varie en passant constamment par les points A et A'.

1888. On donne un ellipsoïde S et deux points P et P'; et Ton considère les ellipses C et G', suivant lesquelles l'ellipsoïde est coupé par les plans polaires des points P et P'.

1» Démontrer que les coniques G, G' et les points P, P' sont situés sur une quadrique 2 qui est, en général, unique.

2° Discuter cette quadrique, en supposant que le point P' se déplace dans l'espace, le point P et l'ellipsoïde S restant fixes.

3° Les points P et P' étant supposés fixes et situés de façon que la quadrique 2 soit indéterminée, trouver le lieu du centre de cette quadrique.

4° En supposant que les points P et P' se déplacent de façon que la quadrique 2 soit une sphère, trouver la surface enveloppe E de cette sphère.

o° Peut-on déterminer un point A tel que la transformée par rayons vecteurs réciproques, de la surface E, en prenant le point A pour pôle d'inversion, soit un cône du deuxième degré ?

1889. On donne un cône du second degré G et deux quadriques A, A' inscrites à ce cône; on considère une quadrique variable S inscrite au même cône et touchant les quadriques données A et A' en des points variables a et a .

1° Démontrer que la droite aa' passe par un point fixe.

2° Trouver le lieu de la droite d'intersection des plans tangents à la surface S aux points a et a.

3° Démontrer que le lieu du pôle d'un plan fixe P par rapport à la surface S se compose de deux quadriques bitangentes.

i° Trouver le lieu de la droite qui passe par les points de contact de ces deux quadriques, lorsque le plan P se déplace en restant parallèle à un plan tangent au cône G.

1890. On donne un triangle ABG et un point P dans son plan.

4° Trouver le lieu des centres des coniques S inscrites dans le triangle ABG et qui sont vues du point P sous un angle donné w ;

2° Discuter ce lieu en supposant que le point P se déplace;

3° Démontrer que, si l'angle donné w est droit, toutes les coniques S sont aussi vues sous un angle droit d'un autre point P'. Montrer que, dans ce cas, si le point P se déplace, la droite PP' passe par un point fixe 1 et que le produit IP.1P' est constant.

1891. Étant donnés un triangle ABG et deux points P et Q situés dans son plan, on considère les coniques S qui touchent le côté GA en A et passent par les points P et Q; on considère de même les coniques S' qui touchent le côté CB en B et passent par les points P et Q.

4° Soient M et N les points d'intersection d'une conique S avec les droites GP et GQ, M' et N' les points d'intersection d'une conique S' avec les mêmes droites. Démontrer que la droite MN passe par un point fixe A, ec la droite M'N' par un point fixe B, quand les coniques S et S' varient;

2° En substituant le triangle CA,Bt au triangle CAB dans la définition des deux séries de coniques, on obtiendra deux nouveaux points A2 et B2, et ainsi de suite; trouver l'équation de la droite A„ et Brt et chercher sa position limite quand n devient infini;

3° On suppose que les coniques S et S' varient de manière que les deuxièmes tangentes menées du point G à ces courbes soient conjuguées harmoniques par rapport aux droites GP et GQ; trouver, dans cette hypothèse, le lieu du point d'intersection des polaires d'un point donné H, par rapport à ces coniques ;

4° Lorsque les coniques S et S' varient en restant tangentes, trouver le lieu de leur point de contact.

1892. Étant donnés un ellipsoïde E, de centre 0, et un cône du second ordre Q de sommet S, on considère un trièdre Oa[3y dont les arêtes forment un système de diamètres conjugués de l'ellipsoïde, et on prend le point d'intersection de chaque arête de ce trièdre avec le plan diamétral qui lui est conjugué dans le cône Q. On obtient ainsi trois points ABC qui déterminent un plan P.

1° Démontrer que le plan P passe par un point fixe F quand le trièdre OaPy varie ;

2° Les points S et F déterminent une droite D; trouver le lieu des droite D qui passent par un point donné w lorsque le cône Q se déplace en restant égal et parallèle à un cône fixe;

3° Trouver, dans la même hypothèse, l'enveloppe G des droites D qui sont situées dans un plan donné H ;

4° Trouver le lieu des foyers des courbes G lorsque le plan H se déplace en restant parallèle à une droite donnée.

(Voyez à la fin pour les compositions de 1893.)