BOURSES DE LICENCE

1833. 4° Discuter la courbe représentée par l'équation

(Xt — $x2 + k)y2 — Âxy + x2 — 0;

2° Reconnaître la nature des différentes surfaces représentées par l'équation du second degré

x2 +y2+ hz2 + laxz + Ibyz + 2cs =0

quand les coefficients/*, a, b, c prenant toutes les valeurs possibles. Déterminer les sections circulaires de ces surfaces.

1886. On considère le système (S) des plans représentés par l'équation

ou \l est un paramètre variable ; les axes des coordonnées sont supposés rectangulaires.

Soit (M) le plan de ce système pour lequel le paramètre ja a la valeur particulière m; par chaque point du plan (M) passent deux plans (M') (M").

du système (S) autres que le plan (M) ; soient y! et \l" les va?eurs du paramètre (j, relatives à ces plans.

I. Suivant la région du plan (M) à laquelle appartient le point A,' les nombres y/ et \l" sont réels ou imaginaires, comprennent entre eux le nombre m, ou bien sont tous deux supérieurs ou tous deux inférieurs à lui; distinguer ces diverses régions.

II. Trouver, dans le plan (M), le lieu des points A tels que les deux plans (M') (M") soient perpendiculaires entre eux.

III. Trouver, dans l'espace, le lieu des points tels que deux des trois plans du système (S) qui passent par l'un quelconque d'entre eux soient perpendiculaires.

Résultats. — I. Les régions sont séparées par une parabole et une tangente à cette parabole.