III. Le lieu est composé de deux paraboloïdes

188^-1. Dans un plan rapporté à des axes rectangulaires, on considère le système de cercles (S) définis par l'équation

x2 + y2 + ax + by + ka + m + G = 0

où A, B, G sont des constantes données, a et b des paramètres variables. Démontrer qu'à chaque point M du plan correspond au point M' tel que par les deux points M et M', on puisse faire passer une infinité de cercles (S) ; on montrera comment les coordonnées de l'un de ces points s'expriment au moyen des coordonnées de l'autre; on prouvera que la droite MM' passe par un point fixe I et que le produit IM. 1M' est constant; enfin on cherchera à remplacer la définition analytique des cercles (S) par une définition géométrique qui mette facilement en évidence les propositions qui précèdent.

II. Les constantes A, B, C, a, b, c, étant données, on propose de déterminer les constantes A, B, C, de façon que l'expression

soit le carré d'une fraction rationnelle en x. A quelle condition le problème est-il possible? 1888-1. Décomposer en facteurs réels du 2e degré le polynôme

a;4 4a;3 cosa cos b ■}- 2 x2 (i -{- cos 2 a -f cos 26) — ix cos a cos b + 4

où a et b désignent des angles donnés. II. On considère l'ellipse S qui a pour équation

Soit M un point de cette ellipse de coordonnées x'ij, on demande de déterminer le paramètre \ de manière que l'équation

x2 4 y2 4 ^ (Ei 4- y£ i V - o

5ï + ô* * Ha2 + à2 V ~°

représente une parabole. Cette parabole est dite osculatrice en M à l'ellipse. On demande de démontrer :

1° Que par chaque point P du plan il passe en général A paraboles oscuiatrices à S; les 4 points où ces paraboles sont osculatrices à S sont situés sur deux droites parallèles ; leurs coordonnées peuvent s'obtenir en fonction des coordonnées du point P par la résolution d'équations du 2e degré ; deux d'entre eux au plus sont réels,

2° Par ces i points passe une véritable parabole que l'on peut faire correspondre au point P ; on formera l'équation de cette parabole et l'on prouvera qu'elle est tangente à la corde des contacts des tangentes S issues du point P, en son milieu. — Sur quel lieu doit se trouver le point P pour que la parabole qui lui correspond passe par un point donné Q du plan?

1889.1. Construire la courbe définie par l'équation (a;2 — s-H)5

II. Si l'on coupe cette courbe par une parallèle à l'axe des x, et si Ton désigne par a l'abscisse de l'un des points d'intersection, les abscisses des cinq autres points d'intersection seront

a ' ■ ' a ' 1 — ci ' a — 1

Distinguer sur la figura les points qui correspondent aux formules précédentes., en supposant que a soit la plus grande des abscisses des points d'intersection.

III. La résolution de lYquation (1), où l'on regarde y comme un nombre donné et x comme l'inconnue, peut, de diverses manières, être ramenée à la résolution d'une équation du troisième degré et d'une équation du second degré.

IV. Lieu de la projection du point d'intersection de deux tangentes à la courbe (1), en des points dont les abscisses sont inverses l'une de l'autre, sur la droite qui joint ces deux points. (Les coordonnées sont supposées rectangulaires).

1890 I. — En désignant par m un nombre entier positif, on considère deux polynômes <p(x), ty(x) entiers en x, de degré inférieur à m, et tels que l'on ait identiquement

(1 — x)m<ç(x) -f x™ty(x) = 4.

1° Démontrer que l'on a identiquement

ty[x) = <p(4 — x), cp(x) = ty(\ — x),

(1 — x)'t'(x) — my{x) = axm~l ;

dans cette dernière égalité, a désigne une constante et <p'(a?) la dérivée de

(p[x) : en déduire, à l'aide du théorème de Rolle, que le polynôme <o(x) ne

peut pas avoir deux racines négatives;

2° Déterminer en fonction de m la constante a et les coefficients du poly nôme ç(a?) ; démontrer que ce polynôme a au plus une racine réelle.

IL — Étant donnés deux axes rectangulaires Qx, Oy, on considère un losange POP'Q' ayant les deux sommets P, P/ sur l'axe des x et les deux sommets Q, Q' sur l'axe des y. On supposera OP = p, OQ=g.

4° Par un point M, de coordonnées x, y, passent deux coniques inscrites dans le losange ; former l'équation du second degré en m, qui admet pour racines les coefficients angulaires des tangentes en M à ces deux coniques;

2° Trouver le lieu des points M où se coupent sous un angle donné deux coniques inscrites dans le losange;

3° Prévoir sur l'équation aux coefficients angulaires que ce dernier lieu doit se composer d'hyperboles.

1891. 4° Représenter sur une même figure les trois courbes (A), (B), (C), dont les équations en coordonnées rectangulaires sont respectivement :

GÉOM. ANALYT. 48

(A) y2 + 3a2#2 — Saxy — az = 0 ;

2° Les points B, B;, G, G' où l'ellipse (A) rencontre les courbes (B), (G) sont les sommets d'un parallélogramme; on demande les lieux décrits par les milieux des côtés de ce parallélogramme et par les sommets du parallélogramme formé par les tangentes à l'ellipse aux points B, B', G, G' quand le paramètre a varie.

3° Montrer qu'il existe une valeur du paramètre a et une seule telle que l'ellipse correspondante (A) soit réelle et passe par un point donné P du plan ; on donnera l'expression explicite de la valeur de a au moyen des coordonnées du point P;

4° Déterminer les coefficients angulaires des axes de l'ellipse (A) en distinguant le coefficient angulaire du grand axe et celui du petit axe.

{Résultats. — L'ellipse est osculatrice aux deux courbes en deux;points à la première (B) aux points B et B' de coordonnées x = d= \/a, y~ax, à la deuxième (C) aux points C et C' de coordonnées a> = =b\/a, y = 2ax. Les côtés CB, C'B' du parallélogramme sont parallèles à Oy; les tangentes à

(G) en G et G; sont parallèles à Ox. Le lieu du milieu de BG est y = -x* ;

celui du milieu de CB', x = 0. Le point de concours des tangentes à l'el-

lipse en B et G est le pôle de x = y a: le lieu de ce point est y = ~xz.

Les tangentes à l'ellipse en G et B' se coupent sur Oy. L'équation qui donne a quand x et y sont donnés dans (A) n'a qu'une racine réelle, comme

on le voit en écrivant (A) sous la forme ( x) = y — x%, d'où la valeur

de a; GB et GB7 étant deux cordes supplémentaires de l'ellipse, le grand axe est dans l'angle aigu formé par les diamètres conjugués parallèles à ces cordes.)

1892 I. En désignant par ab, x'y' des constantes, on demande de déterminer X de manière que l'expression

soit le produit de deux facteurs P et Q du premier degré en x et y.

L'équation dont \ dépend admet une racine nulle et deux autres racines réelles. Pour l'une de ces dernières racines, les facteurs PQ sont réels; pour l'autre, ils sont imaginaires.

IL Étant donnée une ellipse ayant pour équation

en coordonnées rectangulaires, on considère un point fixe M de coordonnées xfy', et l'on demande de déterminer deux droites P, Q telles que le carré de la distance d'un point quelconque de l'ellipse au point M, divisé par le produit des distances du même point de l'ellipse aux droites P, Q, soit constant (c'est-à-dire que le rapport considéré doit être indépendant de la position du point de l'ellipse dont on prend les distances au point M et aux droites P et Q). On formera explicitement les équations de ces droites en supposant le point M sur l'ellipse, et l'on déterminera le lieu de 'eur point d'intersection quand le point M parcourt l'ellipse.

III. Inversement, étant donnée une droite P dont l'équation est ux -f- vy — 1 = 0, peut-on trouver un point M et une droite Q tels que le carré de la distance d'un point quelconque de l'ellipse au point M divisé par le produit des distances du même point de l'ellipse aux deux droites PQ soit constant. Montrer qu'on trouve, en général, deux positions pour M symétriques par rapport à P. Gomment la droite P doit-elle être placée pour que les solutions soient réelles?