COMPOSITIONS DONNÉES EN

École polytechnique, 1er problême. — On considère un plan et deux sphères S et S' de rayons R et R' ayant leur centre dans ce plan. Puis une sphère variable 2 tangente au plan et aux deux sphères S et S'. On demande :

1° Le lieu des points de contact sur le plan (on trouve deux cercles) ;

2° Le lieu des centres (quatre ellipses).

2o problème. — On donne deux sphères de rayons R et R' et de centres G et Cet un cône de révolution de sommet 0 dont l'axe est perpendiculaire au plan COC, le triangle GOG' étant rectangle en 0.

1° Équations du lieu du centre d'une sphère tangente au cône et aux deux sphères;

2° Discuter le lieu dans le cas R = R' ; COC' isocèle et où la sphère variable touche S et S' toutes deux intérieurement ou toutes deux extérieurement.

Concours général. — On donne une conique S et un triangle ABC conjugué à S.

I. Démontrer que par un point quelconque P de S passent quatre coniques circonscrites à ABC et touchant S en un point autre que P.

IL Les points où ces quatre coniques touchent S sont sur une conique S, circonscrite à ABC.

III. Quand P décrit S, la conique S, enveloppe T du quatrième ordre.

IV. D'un point M de r, on peut mener à cette courbe quatre tangentes autres que celle au point M. Démontrer que les points où ces quatre tangentes touchent T sont sur une même droite D. Enveloppe deD lorsque M décrit F.

Agrégation. — On considère un hyperboloïde à une nappe H et le cône S qui est l'enveloppe des plans normaux aux génératrices de cet hyperboloïde menés par un point donné M :

4° Déterminer les sommets M,M]5 M2, M- du tétraèdre conjugué par rapport à toutes les quadriques qui passent par l'intersection de l'hyperboloïde H et du cône S.

Trouver le lieu G' des sommets M^, M2, M3 de ce tétraèdre lorsque, le point M restant fixe, l'hyperboloïde H se modifie en restant concentrique et homothétique à un hyperboloïde donné;

2° Trouver la surface engendrée par la ligne C lorsque le point M décrit une droite donnée D et détermine les positions qu'il faut donner à cette droite D pour que cette surface soit de révolution ;

3° Déterminer les coordonnées du centre w de la sphère circonscrite au tétraèdre M,M19 M2, M3 en fonction des coordonnées du point M pour un hyperboloïde donné H. Trouver le lieu de ce centre lorsque le point M restant fixe l'hyperboloïde H se modifie en restant concentrique et homothétique à un hyperboloïde donné ;

4° Démontrer que la droite qui joint le centre w de la sphère circonscrite au tétraèdre M,M,, M2, Ms au centre de gravité G de ce tétraèdre passe par un point fixe I, lorsque le point M restant fixé l'hyperboloïde H se modifie encore en restant concentrique et homothétique à un hyperboloïde donné et faire voir que G est le milieu de wl.

Ecole normale. — 1° Les coordonnées des points d'une courbe (G) étant représentées par les formules

où t désigne un paramètre variable, et a, b, c sont trois constantes différentes, on considère tous les segments de droite dont les deux extrémités sont sur la courbe (G) et on demande de trouver la surface (S) lieu des milieu M de ces cordes;

2<> Démontrer que la surface (S) contient la courbe (C) et ses trois asymptotes ;

3» Montrer qu'à chaque point M de cette surface correspond une seule corde de la courbe (G) ayant son milieu en M. Discuter analytiquement et mettre ainsi en évidence trois droites tracées sur la surface (S) ;

4° Délimiler la région du plan des xy où doit se projeter un point M de la surface (S) pour que la corde dont ce point est le milieu joigne deux points réels de la courbe (G);

5° Trouver toutes les droites situées à distance finie sur la surface (S);

6° Trouver le lieu des cordes de la courbe (G) dont les milieux sont sur une droite.

Bourses de licence. — On considère la courbe (C) décrite, quand t varie de — ooà-foo, par le point dont les coordonnées rectangulaires x, y, z S3nt données par les formules

I. Trouver les lieux décrits par les points dont les cordonnées sont respectivement égales aux cosinus des angles que font avec les axes coordonnées : 1° la tangente; 2° la normale principale; 3° la perpendiculaire au plan osculateur en un point de la courbe.

II. Montrer que l'une des bissectrices de l'angle formé par la tangente et la perpendiculaire au plan osculateur en un point de la courbe a une direction fixe, et que, par conséquent, la courbe (G) peut être regardée comme une courbe tracée sur un cylindre de manière à couper sous un angle de 43 degrés toutes les génératrices de ce cylindre. Former l'équation de la section droite de ce cylindre rapportée à deux axes situés dans son plan et la construire.

IH. Par un point donné sur la courbe (G), combien peut-on mener de plans qui passent par une tangente à cette courbe et qui soient perpendiculaires au plan osculateur au point de contact de cette tangente?