L'équation générale de la ligne droite

Ax + By + C = o

renferme deux coefficients ou paramètres arbitraires ; car on peut diviser l'équation par l'un des coefficients, et il restera les rapports des deux autres coefficients à celui par lequel on a divisé. Quand on met l'équation sous la forme y = ax-\-b, ces deux paramètres sont a et b. Pour fixer la position de la ligne droite dans le plan, il faudra donner les valeurs des deux paramètres, ou deux relations entre ces paramètres servant à déterminer leurs valeurs.

(34. Problème I. Trouver V équation générale des droites qui passent par un point donné.

Appelons x' et y' les coordonnées du point donné M. L'équation d'une droite quelconque est

y = ax-\- b.

Pour que cette droite passe par le point M, il faut que les coordonnées de ce point vérifient l'équation de la droite ; si donc on remplace les coordonnées variables x et y par les coordonnées x' et y' du point M, on aura l'équation de condition

y' = ax' -\- b.

Cette relation entre les deux paramètres a et b détermine l'un d'eux en fonction de l'autre, par exemple le paramètre b en fonction de a ; en remplaçant b dans l'équation de la droite par sa valeur y' — ax' tirée de l'équation de condition, on obtient l'équation

(7) y — yf — a{x — af).

L'équation (7), dans laquelle le coefficient angulaire a est arbitraire, représente toutes les droites qui passent par le point M. Quand on fait varier le paramètre a, la droite tourne autour du point M.

Nous avons supposé que toute droite est représentée par une équation de la forme y=ax-\- b, quelle que soit sa position dans le plan. Mais il y a une exception, c'est lorsque

la droite est parallèle à Taxe des y\ car, dans ce cas, le coefficient angulaire a est infini, ainsi que l'ordonnée à l'origine b. Cependant, si dans l'équation (7) on remplace a par le rapport

ïïi

—, qu'on mette l'équation sous la forme

et qu'on fasse ensuite n=o, on obtient l'équation x=x', qui représente la parallèle à l'axe des y, menée par le point M.

65. Problème IL Par un point donné mener une droite parallèle à une droite donnée.

Soit y=ax-\-b l'équation de la droite donnée AB, x' et y' les coordonnées du point donné M (fig. 45). La droite demandée devant passer par le point donné, son équation, comme nous lavons dit, sera de la forme

Cette droite devant être parallèle à la droite AB, son coefficient angulaire a' sera égal au coefficient angulaire a de la droite AB; on aura donc a'=a, et la parallèle demandée CD sera représentée par l'équation

66. Problème III. Mener une droite par deux points donnés. Soient M et M' (fig. 46) les deux points donnés, x' et yr les

coordonnées du point M, x" et y" celles du point M'. La droite MM', passant par le point M, est représentée par une équation de la forme

Fig. 45.

Fig. 46.

il s'agit de déterminer le coefficient a, de manière que cette droite passe aussi par le point M'. Il faut pour cela que les coordonnées du point M' vérifient l'équation (7), ce qui donne la relation

d'où Ton déduit

Ainsi, le coefficient angulaire de la droite MM' est égal au rapport de la différence des ordonnées à la différence des abscisses des deux points donnés. Si dans l'équation (7) on remplace a par sa valeur, on obtient l'équation de la droite MM7,

équation que l'on peut mettre sous la forme

x — xr y — y'

Lorsque le point M est à l'origine, on a#'=o, y'=o, et l'équation (8) se réduit à

67. Il arrive souvent que la droite est définie par les points A et B où elle coupe les axes (fig. 47); appelons a l'abscisse du premier point, b l'or-

b! donnée du second, et soit

T l'équation de la droite cherchée. Si l'on y fait successivement y = 0 et x = 0, on ob- Fig. 47. tient les points où la droite coupe les axes;

on a ainsi a=— T , b=— = ; dou A= , B =— T- En

remplaçant A et B par leurs valeurs, on met l'équation sous

la forme simple

68. Problème IV. Trouver le point d'intersection de deux droites données.

Soient

les équations de deux droites données AB et CD(fig. 48), M le point d'intersection de ces deux droites. Le point M appartenant à chacune des droites, ses coordonnées vérifient à la fois les deux équations ; si donc on résout ces deux équations simultanées à deux inconnues x et y, on obtiendra les coordonnées Fi&- 48- du point M,