AB'— BA' ' 3/~AB/ — BA

Quand le dénominateur AB'— BA' est différent de zéro, les formules donnent pour x et y des valeurs finies et déterminées, etles deux droites se coupent effectivement en un pointM. Mais quand le dénominateur AB' — BA' est nul, sans que les numérateurs le soient, on obtient pour x et y des valeurs infinies ; ceci indique que les deux droites proposées sont parallèles ; et, en effet, dans ce cas, elles ont leurs coefficients angu-

laires égaux — =r = — ^^ Si l'on a à la fois -r= -=-= — , les & B B ABC

deux numérateurs sont nuls en même temps que les dénominateurs, et les valeurs de x et de y se présentent sous la forme - ;

il y a indétermination, et, en effet, les deux droites proposées

A' B' C coïncident ; car, si l'on pose — = — = — = k, d'où A' = A/c,

B' = B&, C=Ck, que l'on remplace dans la seconde équation, et que l'on divise par k, cette équation devient identique à la première.

09. Problème V. Trouver V équation générale des droites qui passent par le point d'intersection de deux droites données,

Soient (10) A# + B?/ + C = o,

vu) A'x + B'y + C/-.o,

les équations des deux droites données. On pourrait traiter la question on cherchant les coordonnées du point d'intersection des deux droites par la résolution des équations (10) et (1 1) ; on

ferait ensuite passer une droite quelconque par ce point (n° 64). Mais on arrive au même résultat par une marche plus rapide. Si Ton ajoute membre à membre les deux équations (10) et (11), après avoir multiplié l'une d'elles par une quantité arbitraire X, on obtient une équation du premier degré

(12) (Aa? + By + C)+X(Afa? + B'y + C,) = o,

qui représente une troisième droite passant parle point d'intersection des deux premières ; et, en effet, les coordonnées de ce point, vérifiant à la fois les deux équations (10) et (11), annulent les deux quantités placées entre parenthèses, et, par conséquent, satisfont à l'équation (12). Cette équation (12), dans laquelle le coefficient X est arbitraire, représente toutes les droites qui passent par le point d'intersection des deux droites données; car on peut déterminer ce coefficient de manière que la droite passe par un point quelconque M du plan, ayant pour coordonnées x' et y'\ il suffit pour cela que l'équation de condition

(A^ + By, + C) + X(AV + By + C,) = o soit vérifiée, ce qui donne

<rt\ 1- A*-' + By' + C

[lô) AV + By + C*

Quand on faitX=o, l'équation (12) devient Ax-{-By-\-C=o;

c'est la première droite. Si l'on remplace X par —, et qu'après

avoir multiplié par n, on fasse n—o, on a la seconde droite A'ar+B'y+C^o.

Si, dans l'équation (12), on remplace X par la valeur (i5), on obtient l'équation

U4j Atf' + By' + C- AV + By + C''

qui représente la droite passant par le point M et le point dïntersection des deux droites données. Les numérateurs sont les premiers membres des équations des deux droites données, les dénominateurs les valeurs de ces polynômes, quand on y remplace x et y par les coordonnées du point donné. On reconnaît immédiatement, à l'inspection de cette équation, que la droite

GÉOM, Atf/lLYT. 5

qu'elle représente passe par le point donné et par le point d'intersection des deux droites données.

Lorsque les deux droites (10) et (n) sont parallèles, l'équation (12) représente toutes les droites parallèles à celles-là.

Une équation du premier degré en x et ?/, qui contient un paramètre arbitraire X, représente une infinité de droites; lorsque ce paramètre n'entre qu'au premier degré dans l'équation, on peut mettre l'équation sous la forme (12); on voit alors que toutes les droites passent par un même point, le point d'intersection des droites (10) et (11).

Remarque. Étant données quatre droites concourantes d9d,,dl et d2 on dit que les droites di et d2 sont conjuguées har moniques par rapport aux droites d et d', lorsque les deux points où une sécante coupe les droites d1 et d2 sont conjugués harmoniques par rapport aux deux points où elle coupe d et d' (n° 57). On voit alors facilement que les deux droites dx et d2 ayant pour équations :

(rft) Ax + By + C + 'k{A!x + B,y + C,) = o

(d2) Ajc + By + C — \(A'x + B'y + G) = o

sont conjuguées harmoniques par rapport aux droites données (10) et (11). En effet, coupons les trois droites (10) (11) et (12) par une sécante ayant pour équation y=mx-{-n et rencontrant ces droites en des points M, M' et Mt. Les abscisses x?x' et ^ de ces trois points sont :

__ Bn+G ,__ B'n + C „ Bn-fG+X(B/n+C/)

X~~~A. + Bm' X~~~ A' + B'm5 Xl~ A+Bm-\-l(A'+B'm)9

et, d'après les formules du (n° 57), on a, en grandeur et en

signe,

MiM x —xx__ A' + B'm M4M/ — a?' — #i~~" A' + Bro " On aura de même, en appelant M2 le point où la même

sécante coupe la droite d2

M,M A' + B'm M2M'~" A+Bm'

comme on le voit immédiatement en changeant X en — X. Donc enfin

MiM/— M2M/;

ce qui montre que les points MiM2 sont conjugué» harmoniques par rapport aux points M,M' ( n° 57).

70. Problème VI. Reconnaître si trois droites passent par un même point.

Soient

Ax + By + C =o,

les équations des trois droites données. On cherchera le point d'intersection des deux premières droites, et l'on substituera les coordonnées de ce point dans la troisième équation.

La condition qui exprime que les droites ont un point commun s'obtient en égalant à zéro le déterminant

Si ce déterminant est nul, les trois droites sont concourantes ou parallèles; elles sont parallèles lorsque les trois mineurs,