AB' — BA' , A'B" — BA." , A"B — B"A

sont nuls tous trots, concourantes dans le cas contraire.

Autrement : l'équation générale des droites qui passent par le point d'intersection des deux premières est

(A + XA') x + (B + XB') y + (G + XC') = o.

Si les droites ont un point commun, en attribuant au paramètre X une valeur convenable, cette équation représentera la troisième droite; on doit avoir les deux relations

A + XA' B + XB' G + XC' A" ~ B" — C"

L'élimination de X donne la condition déjà obtenue.

71. Exemple. Considérons les trois médianes d'un triangle OAB (tig. 49); prenons le sommet 0 pour origine, les deux côtés OA et OB pour axes des coordonnées, et désignons par a et 6 les deux longueurs OA et OB. La médiane AE,

coupant les axes à des distances a et - de

l'origine, a pour équation

Fig. 49.

de même, la médiane BF a pour équation

Le point D, milieu de ÀB, a pour coordonnées OF = -, OE = droite OD, qui va de l'origine à ce point, est représentée par l'équation

:-; la

En résolvant les deux premières équations, on obtient les coordonnées x = - , y = r , du point d'intersection G des deux premières médianes

AE et BF. Ces coordonnées vérifiant la troisième équation, on en conclut que la troisième médiane passe aussi par le point G.

En appliquant la second méthode, on reconnaît immédiatement que les trois médianes passent par un même point; car, si l'on retranche les deux premières équations membre à membre, on obtient la troisième.

72. Problème VIL Reconnaître si trois points sont en ligne droite.

Soient x' et y', x" et y\ x'" et y'" les coordonnées des trois points donnés M', M", M'". Si les points sont en ligne droite, les couples précédents vérifient une équation de la forme Ax + By -f- G = 0, et le déterminant

est nul.

Autrement. Les droites Ml", M'M7' coïncident, leurs coefficients angulaires sont égaux, y" -y' y"' - y' ,

Fiff. so.

Fig. 51.

73. Exemple. Si l'on prolonge les quatre côtés d'un quadrilatère

OACB (iig, 5i), on forme ce qu'on appelle un quadrilatère complet; les côtés se coupent deux à deux en sis points ou sommets; en joignant les sommets opposés, on obtient trois diagonales AB, A'B', OC; nous allons démontrer que les trois points D, E, F, qui divisent ces diagonales en deux parties égales, sont en lignes droites.

Prenons les côtés OA et OB pour axes des coordonnées ; désignons par a et o! les abscisses des points A et A', par b et b' les ordonnées des

points B et B'. Le point D, milieu de AB, a pour coordonnées xr = -,

y' — - . Le point E, milieu de A'B', a pour coordonnées 53" = — » y"=— •

Pour avoir les coordonnées du point F, milieu de OC, clierchons celles du point C, intersection des deux droites AB', A'B, qui ont pour équations

En résolvant ces deux équations simultanées, on obtient les coordonnées du point C,

aa'(b — V\ : 'ab - a'b'

bb' [a — a') ' ab — a'V

Le point F étant le milieu de la droite OC, ses coordonnées a?'", y" sont les moitiés de celles du point G; on a donc

aa' (b — b') \~[ab-a'b')

bb' (a — a') t 2 [ab — a'b')

Ayant les coordonnées des points D, E, F, on reconnaît aisément que les trois points sont en ligne droite. Les droites DE et DF ont pour coefficients angulaires

bb' (a— a'} h

xr"—œ'~~

ab —

aa' (b ab —

ces deux coefficients angulaires étant égaux entre eux, on en conclut que les trois points D, E, F sont en ligne droite.