Problème VIII. Trouver l'angle de deux droites

Soient y=ax-\-b, y—.a'x-^b', les équations des deux droites données. Par l'origine, et du côté de Taxe X'X où se trouve OY, menons des demi-droites OA et OA' parallèles aux droites données (fig. 52) ; appelons a et a les angles que font ces directions avec OX, V l'angle qu'elles vï8- 52- font entre elles, et, pour préciser,

supposons a'>a. On a évidemment V = a' — a, d'où

Tr tang a' — tan g a tangV = — pf — . & ,- D i + tang a tang a

Quand les axes sont rectangulaires, on sait que

tanga = a , tang a' = a';

si l'on substitue dans la formule précédente, il vient

Quand les axes sont obliques, on a (n° 6i) :

asinG , , a'sinô

tang a = — ■ , tang a :

' i + a cos 0 ' i + a' cos ô

et, par suite, / x ± Tr (a'— a)sin6

(in) tang V = — : — Vtt i — k 1 '

v /y ° i + aa + (a -f- a) cos 8

De ces formules, on déduit la relation qui existe entre les coefficients angulaires de deux droites perpendiculaires entre elles. En effet, quand l'angle V est droit, sa tangente devenant infinie, on a, si les axes sont rectangulaires,

(18) \-\-aa' — o, et, si les axes sont obliques,

(19) 1 -\-aa! -f- (« + #') cosô = °-

75. Problème IX. D'un point donné abaisser une perpendiculaire sur une droite donnée, et trouver la longueur de cette perpendiculaire.

Soient (a) ys=ax±$

l'équation de la droite donnée AB, x' et y' les coordonnées du y n point donné M (fig. 53). Supposons d'abord

les axes rectangulaires. Une droite quelconque passant par le point M a une équation de la forme (n° 64)

Fig# b3. Pour que cette droite soit perpendiculaire à la droite AB, il faut que la relation 1 -f aa'=o soit vérifiée (n° 74) ; d'où l'on déduit a' = En remplaçant a' par sa

valeur, on obtient l'équation de la perpendiculaire MP

(20) y — yf = — ^(x — Xf).

On trouvera les coordonnées x et y du pied P de la perpendiculaire, ou le point d'intersection des deux droites AB et MP, en résolvant les deux équations simultanées (2) et (20); mais il vaut mieux chercher les différences x — x' et y — y', parce que l'expression de la distance ne contient que ces différences (n° 55). L'équation (2) peut être mise sous la forme

y — y' = a{x — x') — (y' — ax' — b)\

si, dans cette équation, on remplace y — y' pav sa valeur donnée par l'équation (20), on trouve