f-a2 et, par suite, en vertu de l'équation

y' — ax' — b

En appliquant la formule de la distance de deux points (n° 55), on obtiendra la longueur / de la perpendiculaire MP,

r, ,x, . / r, 4 /(y' — ax' — è)2(i+a2)

<W(* - *T + (y - y Y =v - — (l+fl2). »

a% . , . , , y' — ax' — b

doù (ai) l=±^—7===r--

On choisira le signe de manière à avoir pour / une valeur positive. Il est aisé de voir que le numérateur est positif ou négatif, suivant que le point M est placé, par rapport à la droite AB, du côté des y positives ou du côté des y négatives. En effet, soit N le point où la droite AB est rencontrée par la parallèle à Taxe des y menée par le point M ; le point N étant sur la droite AB, l'ordonnée y^ de ce point est égale à ax'-{-by de sorte,que la formule (21) devient

La différence y' — yi est positive dans le premier cas, négative dans le second cas.

On aurait pu obtenir immédiatement la longueur de la perpendiculaire sous cette dernière forme, en remarquant que le triangle rectangle MNP donne

MP=MNsinMNP = ±(y'— yjcosx^^ y' ~y'

Vi + a"

76. Supposons maintenant les coordonnées obliques; les droites AB'etMP seront perpendiculaires si leurs coefficients angulaires a et a'vérîneïit la relation î+aa'-}- (<«+«') cosû=o,

d'où Ton déduit a'=— —. -• L'équation de la perpendicu-

a + cosô * r

laire MP est donc

, x / i + acosô ,.

K J u u a-f-cosô v J

En résolvant les deux équations simultanées (2) et (22), on obtiendra les coordonnées x et y du point P. Si, comme précédemment, on cherche les différences x — x\ y — y', on trouve (y' — ax' — b) [a ~\- cos 8)

1 + a2 + 2 a cos 0 {y' — ax' — 6) (1 -[-acosô).

* i4-a' + 2acos

substituant ces différences dans la formule de la distance de deux points (n° 56)

i=\/{x—^y+(y-yy+2{x — x')J!/—y')oos^

on a __

±{y'— a^--^)V^(â+cos6)2+(i-facos6)2-- 2(g-fcos0)(i+flcos0)cos9.

i+2acosô-j-«2 En développant les calculs, on remarque que la quantité placée sous le radical contient le facteur 1 — cos2ô ou sin2ô, et est égale a

(i-f-2acosô + a8) sin2ô; il en résulte

(23) f = + W-a*-b)jS*±

y i -\-2c1 cos ô-j-a2 Le numérateur est positif ou négatif, suivant que le point M est placé, par rapport à la droite AB, du côté des y positives, ou du côté des y négatives. On prendra le signe de manière à avoir pour / une quantité positive.

77. Dans ce qui précède, nous avons supposé l'équation de la droite donnée mise sous la forme y = ax-\-b. Si cette équation avait la forme générale

(i) Ax + By + C = o,

le coefficient angulaire a de la droite donnée étant égal à

— ~, on aurait, dans le cas "des coordonnées rectangulaires, Jd

a'= =—,-et la perpendiculaire abaissée du point M serait

ci .A.

représentée par l'équation

ou 04)

v—y'=^(x—rf)9

La formule (21), dans laquelle on remplace a et b parleurs

A^ + By' + C

valeurs- — ^> — ^> devient

Cette formule exprime la distance d'un point à une droite en coordonnées rectangulaires : le numérateur est le premier membre de l'équation de la droite, dans lequel on remplace x

et y par les coordonnées du point ; le dénominateur est la racine carrée de la somme des carrés des coefficients de x et de y. Quand les axes sont obliques, on a

, B — A cos 9 .

A — B cos 6 l'équation de la perpendiculaire est

^ ' A — Bcosô B — Acosô'

et la formule (23) devient

l = ± (A^ + By- + C)8inQ> V/A2 + B2 — 2ABcos0

Il est aisé de reconnaître le signe du numérateur, suivant la position du point M par rapport à la droite AB. Soit N (fig. 53) le point où la parallèle MQ à Taxe des y rencontre la droite AB ; imaginons qu'un point mobile, ayant pour coordonnées x et y, parcoure cette parallèle, et considérons les valeurs du polynôme Ax-{-By-\-C pour les diverses positions du point mobile; quand le point mobile est en N, la valeur du polynôme est nulle. Si le coefficient B est positif, quand on marche dans le sens des y positives, le terme By augmente, et laïonction prend des valeurs positives de plus en plus grandes ; quand on marche dans le sens opposé, elle prend des valeurs négatives. C'est le contraire qui a lieu, lorsque B est négatif.

78. Problème X. Par le point d'intersection de deux droites données, mener une droite perpendiculaire à une droite donnée. Soient

A^+By +C=o,

A'tf + B'y + C'=o,

les équations des trois droites en coordonnées rectangulaires ; toute droite passant par le point d'intersection des deux premières est représentée par une équation de la forme

(Aa? + By + C) + X(A/a? + Bfy + Of) = o;

pour qu'elle soit perpendiculaire à la troisième droite, on doit avoir

d'où Ton déduit

A'(A + XA') l + B"(B + XB')~"°'