AA" + BB

A'A" + B'B" en remplaçant X par sa valeur, on obtient l'équation de la droite cherchée (28) (A'A'+B'B") (A#+By+C) = (A''A+B''B) {A!x+B'y+U).

79. Les trois droites données forment un triangle dont les sommets sont les points d'intersection de ces droites deux à deux; l'équation (28) représente la perpendiculaire abaissée de l'un des sommets sur le côté opposé. En permutant les accents, on aura les équations des perpendiculaires abaissées de chacun des deux autres sommets sur le côté opposé, savoir :

(A"A-fB"B) (A'a? + B'y + C') = (AA' + BB') (A"# + B'V + C"), (AA' + BB') (A"a? + BV+C^==(A'A'+B'B*). (A^r + By + C). En ajoutant les deux premières équations membre à membre, on obtient la troisième. On en conclut (n° 70) que les trois hauteurs d'un triangle passent par un même point.

80. Problème XI. Trouver le lieu des points également distants de deux points donnés.

Supposons les axes rectangulaires et soient x' et y', x" et y" les coordonnées des deux points donnés. Si Ton désigne par x et y les coordonnées d'un point quelconque du lieu, l'équation du lieu sera

ou plus simplement

Ce lieu est une droite perpendiculaire sur le milieu de la droite qui joint les deux points donnés.

81. Problème XII. Trouver le lieu des points également distants de deux droites données.

Nous supposons encore les axes rectangulaires; soient

Ax + By + G = o ,

les équations de deux droites données. Si l'on désigne par x et y les coordonnées d'un point quelconque du lieu, l'équation du lieu sera

Ax + By + G __ A'a? + B'y + C

A cause du double signe, cette équation représente deux droites, qui sont les bissectrices des angles formés par les deux droites données.