L'équation (3i) développée devient
p cos (o cos a -{- p sin co sin a = a , ou, en coordonnées rectilignes rectangulaires, (33) x cos a -f- ?/ sin a — a = o.
L'équaticn de la droite étant mise sous cette forme, le premier membre a une signification géométrique très-simple. Considérons un point quelconque M du plan, ayant pour coordonnées polaires pet m, et pour coordonnées rectilignes x et y ; de ce point abaissons une perpendiculaire MP sur la droite AB (fig. 55). La projection du rayon vec- Fig. 55. N teur OM sur la droite OD est p cos (w — a) ; mais cette projection est égale à OD, augmentée ou diminuée de la perpendiculaire PM, suivant que le point M et l'origine 0 sont situés de part et d'autre de la droite ou du même côté; si donc on désigne par p cette perpendiculaire, affectée du signe + dans le premier cas, du signe — dans le second cas, on aura, d'une manière générale,
a-)-p=p cos(w — <*) = x cos a -f- y sin a, d'où p=x cos a -f- y sin a — a.
Ainsi, le premier membre de l'équation (33) représente la distance d'un point quelconque du plan, ayant pour coordonnées x et y, à la droite définie par cette équation, distance affectée d'un signe convenable.
Il est facile d'en déduire les coordonnées xi et yi du pied P de la perpendiculaire; les différences x — xi9 y — yt étant les projections de la droite PM sur les deux axes, on a
x — xx =p cos a = (x cos a -f- y sin a — a) cos a, y — yi =p sin a = (x cos a + y sin a — a) sin a .
La forme (33), sous laquelle on peut toujours mettre l'équa-
tion de la droite , est utile dans un grand nombre de questions.
83. bis. Équation d'une droite passant par deux points. Soient
(pi > <*>i) 9 (Pi > *>0
les coordonnées des deux points; l'équation de la droite joignant ces deux points, est
en effet, cette équation représente une droite et est évidemment vérifiée par p = pi , w = <o1etp = p2 , <*> = tta.
sin (o
Pi
COS 0)i
sin (Oj
