CHAPITRE II

Ou. Cercle.

84. Cherchons d'abord l'équation de la circonférence en coordonnées rectangulaires. Désignons par a et b les coordonnées du centre G (fig. 56) et par r le rayon; la circonférence, étant le lieu des points dont la distance au centre est égale au rayon, a pour équation

Fig. »6. (^ (x — ay-\-(îj — by = r2;

cette équation développée se met sous la forme

(2) A(x" -f tf) + iDx + iEij + F = o.

Ainsi, V équation du cercle, en coordonnées rectangulaires, est une équation du second degré, qui ne renferme pas le rectangle xy des variables, et dans laquelle les termes en x2 et en y2 ont même coefficient.

85. Réciproquement, toute équation de cette forme, en coordonnées rectangulaires, représente une circonférence de cercle, quand elle représente un lieu. En effet, on peut écrire l'équation (2) de la manière suivante, après avoir divisé par A

K)-+(9+ih

Marquons le point C, qui a pour coordonnées — — et — -—; le

premier membre représente le carra de la distance d'un point quelconque M du plan, ayant pour coordonnées x et y, au point C; si le second membre est positif, l'équation sera vérifiée par les coordonnées de tous les points du plan dont la distance au

point G est égale à \/ \ — — -; elle représente donc une

circonférence de cercle. Lorsque le second membre est nul, la distance MC devant être nulle, le point M coïncidera avec le point C, et l'équation ne sera vérifiée que par les coordonnées de ce point; le lieu se réduit donc à un point unique. Enfin, lorsque le second membre est négatif, l'équation ne peut être vérifiée par les coordonnées d'aucun point du plan; car le carré de la distance du point M au point C est une quantité positive ; Kéquation ne représente donc, dans ce cas, aucun lieu géométrique.

80. Supposons maintenait les axes des coordonnées obliques, et faisant entre eux l'angle 6 (fi g. 57); en exprimant que la distance d'un point quelconque du lieu au centre est égale au rayon, on aura l'équation de la circonférence

(3) {x — a)* + (y — &)* + 2(# — a)(y — 6)cos0 = r\

Cette équation est de la forme

(',) A(x* + f + 2Xy cos ô) + 2Bx 4- aEy + F = °-

Ainsi, r équation du cercle, en coordonnées obliques, est une équation du second degré, dans laquelle les termes en x2, en y2 et en axy cos 0 ont les mêmes coefficients.

En divisant par A, on ramène, cotnme dans (3), les coefficients de x*, if, ixij cos G à être égaux à l'unité.

-87. Réciproquement, toute équation de cette forme représente une circonférence de cercle, quand elle représente un lieu. En effet, on peut déterminer les trois constantes a, b, r2, de manière à identifier les équations (3) et (4). L'équation (3), développée, devient

x? + 112 + 2Xy cos 9 — 2 (a -{- # cos 6) x — 2 (6 -f- a cos ô) y + a2 + ^ + zab cos ô — r2 = o .

On identifiera cette équation à l'équation (4) en posant

a-\-b cosQ = -

Ô + ^COSÔ=r — —-,

^2 I £2 I 2a£ cos Q rS

Les deux premières relations donnent pour a et b des valeurs firros, puisque le déterminant i — cos2ô ou sin2ô est différent de zéro. La troisième donne

r* = a~ + b2 + iab cos ô — - •

Marquons le point C, qui a pour coordonnées a et b. Le premier membre de l'équation (5) représente le carré de la distance d un point quelconque M du plan, ayant pour coordonnées x et y, au point C. Si Ton trouve pour r2 une quantité positive, l'équation sera vérifiée par les coordonnées de tous les points du plan distants du point C de la longueur r ; elle représente donc une circonférence de cercle. Si l'on trouve pour r2 une quantité nulle, la distance MC devant être nulle, l'équation ne sera vérifiée que par les coordonnées du point C ; elle représente un seul point. Enfin, si l'on trouve pour r% une quantité négative, l'équation n'est vérifiée par les coordonnées d'aucun point du plan.

Au lieu de déterminer le centre C du cercle par ses coordonnées a et b, il est plus commode de le déterminer par les projections orthogonales de la droite OC sur les deux axes. Appelons d et V ces deux projections OD et OE (fig. 57), affectées de signes convenables, et exprimons que la projection de la droite OC sur l'un ou l'autre axe est égale à celle de la ligne brisée OPC ou OQC ; nous aurons

a' = a + £cosô , b'=b-]-acosQ;

il en résulte d = — ■ — , ô' = — — • Après avoir porté sur les A A

axes à partir de l'origine les longueurs d et b', on mènera par les points D et E des perpendiculaires aux axes ; l'intersection des deux perpendiculaires déterminera le centre C. 88. L'équation d'une circonférence de cercle, comme nous l'avons dit, est

(5) (x — a)2 + {y — b)1 + a(x — a) {y — b) cosô — r2 ~o.

Le premier membre a une signification géométrique qu'il

GÉOM. ANALYT. 6

Fig. 58.

est bon de remarquer. Considérons un point M du plan ayant pour coordonnées x et y ; l'expression

(x — aY -j- [y — b)2 + 2 (# — a) {y — à) cos 0

représente le carré de la droite MO qui j oint le point M au centre (fig. 58) ; le premier membre de l'équation

est donc égal à MC — r2, c'est-à-dire au produit des deux facteurs MC-f-^etMC — r, qui sont les deux segments MA et MB du diamètre mené par le point M, segments affectés du même signe ou de signes contraires, suivant qu'ils sont portés dans le même sens, ou dans des sens opposés. Ainsi, le premier membre de l'équation (5) représente le produit des deux segments d'une sécante quelconque menée par le point M, c'est-à-dire la puissance de ce point par rapport au cercle. Quand le point M est extérieur au cercle, ce produit est égal au carré de la tangente.

89. problème I. Trouver V équation de la tangente à une courbe quelconque.

Nous avons déjà donné la définition de la tangente en un point M d'une courbe (n° 19). Par le point M et un point voisin M' pris sur la courbe, menons une sécante MM', puis supposons que le point M' se rapproche indéfiniment du point M ; la sécante MM' tournera autour du point M et si elle tend vers une direction limite MT, cette droite MT est dite tangente à la courba au point M (fig. 5g). Soient x et y les coordonnées du point de contact M, x-\-h et y + A celles du point voisin M' ; le coefficient angulaire de la

sécante MM' est le rapport 7 de la différence des ordonnées des

deux points M et M' à la différence de leurs abscisses. Quand le point M' se rapproche indéfiniment du point M, les deux accroissements h et k tendent simultanément vers zéro; nous

Fig. 59.

n'étudierons que les courbes définies par des équations telles

que le rapport - tende vers une limite, qui est la dérivée de

l'ordonnée considérée comme fonction de l'abscisse.

Si l'équation de la courbe est résolue par rapport à y et mise sous la forme y=f(x), la tangente aura pour coefficient angulaire y'=f (x). Lorsque l'équation de la courbe / (x, y) = o n'est pas résolue, on obtient la dérivée y' de la fonction implicite y à l'aide de l'équation fx-\-y'fy = o, dans laquelle fx et f'y désignent les dérivées partielles de la fonction f (x, y) par rapport à x et par rapport à y. On en déduit

'y Ainsi, si l'on désigne par X et Y les coordonnées d'un point quelconque de la tangente, l'équation de cette droite est

f (?) Y-y = -'f,{K-x), ou (X-«)£-HY-y)/; = o.

ly