Problème IL Trouver l'équation de la tangente au cercle

Appliquons la formule précédente au cercle, en supposant les axes rectangulaires et l'origine placée au centre du cercle. Le cercle a pour équation (8) x2 + y2 — r2 = o.

Résolue par rapport à y, l'équation devient y=±yrs—x* ; en prenant la dérivée de cette fonction, on a

~±\Jr* — x~ V

En conservant l'équation non résolue et appliquant la for-

mule (6), on obtient la même valeur yf = Ainsi l'équation de la tangente est

Y — y = — ~(X — x), ou xX + yY = x'+y\

Puisque le point M est sur le cercle, ses coordonnées vérifient

l'équation du cercle, et Ton a x2-\-y2 = r*. L'équation de la tangente se simplifie et devient

(9) xX + yY = r*.

Le coefficient angulaire du rayon qui va du centre au point

de contact étant -> on voit que la tangente est perpendiculaire à ce rayon.

91. Problème III. Mené?" une tangente au cercle par un point extérieur P.

Supposons toujours le cercle rapporté à des axes rectangulaires menés par le centre, et représenté par l'équation

désignons par xi etyl les coordonnées du point donné P (fig. 6o). Soit MP une tangente menée par ce point; la question revient à déterminer le point de contact M, dont nous appellerons x et y les coordonnées inconnues. Le point M étant sur le cercle, ses coordonnées vérifient l'équation (8). La tangente au point M a pour équation xX-\-yY=r2. Cette tangente passant par le point P, son équation doit être vérifiée par les coordonnées de ce point, ce qui donne la relation (io) xxi+yy1 = rÈ.

En résolvant les deux équations simultanées (8) et (io), on obtiendra les valeurs des inconnues x et y.

La résolution des deux équations (s) et (io) revient à la recherche des points d'intersection de deux lignes. La première équation représente le cercle proposé ; la seconde une ligne droite. Chercher les valeurs de x et de y qui vérifient à la fois ces deux équations, c'est chercher les points d'intersection de la droite et du cercle. Cette droite coupe le cercle en deux points M et M'; c'est la droite des contacts. On remarque que l'équation (10) de la droite dés contacts a même forme qiie l'équation (9) de la tangente; seulement, les coordonnées

Fig. 60.

du point de contact sont remplacées par celles du point P.