On sait que, lorsqu'on a deux équations simultanées

à deux inconnues x et y, si l'on remplace l'une d'elles par l'équation mk-\-nB~o, que l'on obtient en ajoutant membre à membre les deux équations proposées, après les avoir multipliées par des nombres arbitraires m et n, on forme un nouveau système d'équations

A=o, mA~f-nB = o,

équivalent au système proposé. Cela signifie géométriquement que les points d'intersection des deux lignes représentées par les deux équations proposées sont les mêmes que les points d'intersection de l'une d'elles par la troisième ligne.

Nous avons dit que les points de contact M et M' sont donnés par l'intersection du cercle proposé et de la droite des contacts. En retranchant les deux équations (s) et (10) membre à membre, on obtient la nouvelle équation

x2 + y2 — xtx — y,y — o,

("-ïy+c»-?)-^-

qui peut remplacer l'équation (10); cette nouvelle équation

représente un cercle ; le centre, dont les coordonnées sont —

et —> est le milieu de la droite OP; l'équation ne contenant

pas de terme constant, le cercle passe par l'origine ; on a ainsi ie cercle décrit sur la droite OP comme diamètre ; les points où ce cercle coupe le cercle proposé sont les points de contact. On retrouve de cette manière la construction delà géométrie élémentaire.

93. Problème IV. Mener une tangente parallèle à une droite donnée.

Au cercle

on veut mener une tangente parallèle à une droite OA, que Ton peut supposer passer par l'origine et représentée par l'équation y = mx (flg. 64). Si Ton désigne par a? et y les coordonnées du point de contact M, on sait que le coefficient angulaire de la tangente est

égal à ; pour que la tangente MT

soit parallèle à la droite donnée, il faut que son coefficient angulaire soit égal

à m; on aura donc la relation =m.

Fig.ôi.

OU

D'ailleurs les coordonnées du point M vérifient l'équation du cercle. Ces coordonnées seront donc déterminées par les deux équations simultanées (9) et (1 1), et, par conséquent, les points de contact M et M' seront donnés par l'intersection du cercle et de la droite que représente l'équation (1 1) ; cette droite MM' est un diamètre perpendiculaire à la droite donnée OA.

94. On peut traiter la question d'une autre manière, et ceci nous fournira l'occasion de présenter l'équation de la tangente au cercle sous une forme nouvelle. Proposons-nous d'abord de chercher les points d'intersection d'un cercle x2 -\-y2 =r2 et dune droite quelconque y = mx-\-k. En éliminant y, on obtient l'équation du second degré x2-\-(mx-\-k)2=:r2 , ou

(m2 -(- 1) x2 -\- imkx -\- k2 — r2 = 0.

Quand cette équation a ses racines réelles, la droite coupe le cercle en deux points, dont les abscisses sont les racines de l'équation. Si les racines deviennent égales entre elles, les deux points d'intersection se confondent, et la droite devient tangente au cercle. Enfin, quand les racines sont imaginaires, la droite ne rencontre pas le cercle.

Ainsi, la condition pour que la droite soit tangente au cercle est

OT*4» — (ro» + i)(A8— r*) = o, ou k2 = r2 (m2 -f i).

L'équation de la droite, dans laquelle on remplace A; par sa valeur, devient

(l2) y = mx±r\Jm2 -f- 1.

Cette équation, qui renferme un paramètre arbitraire m, représente toutes les tangentes au cercle.

Si Ton donne la direction de la tangente, le coefficient angulaire m étant connu, on a immédiatement les équations des deux tangentes parallèles à la direction donnée.

9S. Problème V. Trouver le lieu des 'points dont les distances à deux points fixes soient entre elles dans un rapport donné.

Soient A et B les deux points donnés (fig. 62) ; prenons pour axe des x

la droite AB et pour axe des y la perpendiculaire élevée sur le milieu de AB.

m Si l'on appelle 2a la distance AB^ — le

rapport donné., et si l'on désigne par x et y les coordonnées d'un point quelconque du lieu, l'équation de ce lieu sera

rn?

m? + n2 , 2 - 2 ax— -r r + a2 = O.

C'est un cercle dont le centre est situé sur l'axe des x ; les deux extrémités du diamètre DE sont les points qui divisent la droite AB dans le rapport de m à n.

96. Problème VI. Trouver les points d'intersection de deux cercles.

Soient

(14) & + tf + <iï)x + aEy + F = 0/

(1 5) x2 + if + iD'x + ift'ij + F = o,

les équations des deux cercles, en coordonnées rectangulaires, les coefficients de x*-\-if étant égaux à l'unité. Les points d'intersection seront donnés par ces deux équations simultanées. On peut remplacer le second cercle par la droite

que Ton obtient en retranchant ces équations membre à

membre, et la question est ramenée à la recherche des points d'intersection du premier cercle par cette droite. Si la droite coupe le cercle, les deux cercles ont deux points d'intersection, et l'équation (16) représente la sécante commune. Si la droite devient tangente au cercle, les deux points d'intersection se confondent, et les deux cercles sont tangents; l'équation (16) représente dans ce cas la tangente commune. Enfin, lorsque la droite ne rencontre pas le cercle, les deux cercles n'ont pas de point commun.

Cependant l'équation (16) a, dans tous les cas, une signification géométrique remarquable. Les premiers membres des équations (14) et (i5) représentent (n° 88) les puissances d'un point quelconque M du plan, ayant pour coordonnées x et y, par rapport à l'un et l'antre cercle; or, on obtient l'équation

(16) en égalant ces deux expressions, ce qui fait disparaître les termes du second degré ; l'équation (16) représente donc le lieu des points d'égale puissance par rapport à chacun des cercles ; ce lieu est une droite que l'on appelle axe radical des deux cercles. La partie de cette droite extérieure aux cercles est le lieu des points d'où les tangentes menées aux deux cercles sont égales entre elles*. Il est clair que les axes radicaux de trois cercles combinés deux à deux passent par un même point; on appelle ce point centre radical des trois cercles. Quand il est extérieur aux trois cercles, les tangentes issues de ce point ont mêmes longueurs. Le cercle décrit du centre radical comme centre avec un rayon égal à la longueur commune des tangentes est orthogonal aux trois cercles considérés.

Remarque. Si les coefficients de #2-j-2/2 n'étaient pas égaux à l'unité et si les équations des deux cercles étaient de la forme

(17) f(x,y) ee k{x* + f) + ïùx + 2E2/ + F = o

y(x,y) = k'(x* -f- if) + aD'a; + *E'y -f F = o,

on obtiendrait l'équation de Taxe radical en éliminant entre ces deux équations les termes du second degré, c'est-à-dire

en multipliant la première par — A', la seconde par A et ajoutant; on a ainsi l'équation

(18) A<p— Ay=a(AD'— DAOoj+aCAE7— EAOjM-AF— FA'=o.

Cette équation représente bien l'axe radical, car la puissance du point (x,y), par rapport au premier cercle,

est ^ .' ■ , par rapport au deuxième ^ , ; en égalant ces

deux puissances et chassant les dénominateurs, on obtient l'équation (18).

97. Problème VII. Trouver V équation générale des cercles passant par les points d'intersection de deux cercles donnés.

L'ensemble de ces cercles se nomme un faisceau de cercles. Pour trouver leur équation, on peut suivre une méthode identique à celle qui a été employée pour le problème analogue relatif aux lignes droites (n° 69). Soient deux cercles représentés par les équations (17), l'équation

(19) f(x,y)-\-ty(p,y) = o c'est-à-dire

(A+XA)(^-(-^2) + 2(D + XD/)^-r2(E + XE/)?/+P+X.F/=o

où X désigne une constante quelconque, représente un cercle passant par les points d'intersection des deux cercles donnés, car les coordonnées de chacun des points d'intersection, annulant / et 9, annulent évidemment /+X®. L'équation (19) est de plus l'équation la plus générale des cercles demandés, c'est-à-dire que, pour une détermination convenable de X, elle représente un cercle quelconque S passant par les points communs aux proposés. En effet, sur le cercle S choisissons un point (xif yt), et déterminons X par l'équation du premier degré

qui exprime que le cercle (19) passe par le point (x^yj. Le coefficient X étant ainsi déterminé, le cercle (19) et le cercle considéré S coïncident, car ils ont trois points communs à

distance finie, à savoir les deux points d'intersection des cercles donnés et le point (x^yj.

Tous les cercles du faisceau (19) associés deux à deux ont le même axe radical qui n'est autre que Taxe radical des cercles donnés (18). Cet axe radical se trouve d'ailleurs lui-même parmi les cercles du faisceau, comme on le voit en

donnant à 1 la valeur particulière — —, qui fait disparaître

les termes du second degré.

Points limites. Prenons, pour simplifier, la ligne des centres des deux cercles donnés (17) pour axe des x et leur axe radical pour axe des y; les équations des deux cercles seront de la forme

(20) x^ -f- if — iax -fc = o

a et a' désignant les abscisses des centres des deux cercles et c la puissance de l'origine par rapport à chacun des deux cercles, puissance qui est la même pour les deux cercles, car l'origine appartient par hypothèse à l'axe radical. L'équation générale des cercles passant par les points communs aux deux proposés est

(1 + X) (x" + tf) — a(a + \a')x + (1 + X)c = o

ou plus simplement en divisant par 1 -\-l et appelant (x le

, a-\~\a' rapport — —ri-f-À

(21) #2 + ?/2 — iilx-\-c = o

{x désignant un coefficient arbitraire. Cette dernière équation aurait pu être écrite a priori, car c'est l'équation générale des cercles qui, associés avec l'un des cercles donnés, ont pour axe radical Oy. Parmi ces cercles (21), il s'en trouve deux qui sont réduits chacun à un point réel ou imaginaire, c'est-à-dire qui ont un rayon nul : ces deux cercles sont les points limites. On peut en effet écrire l'équation (21)

(x-^y + if^^-c.

DU CERCLE. 9i

Donc pour [/. = ± y c, ce cercle se réduit au point x = p, y = o. Si c'est positif, c'est-à-dire si l'origine est extérieure aux deux cercles, ou, ce qui revient au même, si les deux cercles se coupent en des points imaginaires, les valeurs de (x sont réelles et les deux points limites sont réels. Dans

ce cas, \Jc désigne la longueur commune des tangentes menées du point 0 aux cercles donnés; les points limites sont donc à l'intersection de la ligne des centres, Ox9 et du cercle décrit du pied 0 de Taxe radical comme centre avec un rayon égal à la longueur de la tangente menée de 0 à l'un quelconque des cercles donnés. Si, au contraire, les deux cercles donnés (io) se coupent en des points réels, 0 est à l'intérieur des deux cercles, c est négatif, les points limites sont imaginaires. Si les deux cercles proposés sont tangents, 0 est leur point de contact, c = o, y. = o, et les deux points limites coïncident avec 0.

97 bis. Problème VIII. Exprimer que deux cercles se coupent orthogonalement.

Lorsque deux cercles se coupent à angle droit, les rayons aboutissant à l'un des points d'intersection M sont rectangulaires, car ils sont perpendiculaires aux tangentes qui sont rectangulaires par hypothèse. Le triangle ayant pour sommets le point M et les deux centres est donc rectangle en M, et le carré de la distance des centres est égal à la somme des carrés des rayons'. Soient alors les deux cercles représentés parles équations (i 7), d'après les expressions données dans le n° 85 pour les coordonnées du centre d'un cercle et le carré de son rayon, on aura pour la condition d'orthogonalité des deux cercles en coordonnées rectangulaires

D/ DV (E/ E\8 Da+E9 F D/2-f E'5 F

ou en réduisant et chassant les dénominateurs (22) AF + FA' — 2 (DW + EEQ = o.

Nous arriverons au même résultat sans le secours de la

géométrie. Soit {x, y) un point commun aux deux cercles (18): les coefficients angulaires des tangentes aux deux cercles en

f (ùf

ce point étant respectivement (n° 89) — '—? et — -~f la con-

dition nécessaire et suffisante pour que les deux cercles soient orthogonaux au point (x9 y) est

f x fs/x ~\~ fy iy = °5

c'est-à-dire développant les calculs

(23) AA,(^2+y2)4-(ADr+DA0^+(A.EJ/+Eà/)2/+D^+EE/=ro.

Si Ton regarde x et y comme des coordonnées courantes, cette dernière équation représente un cercle, et, comme elle doit être vérifiée par les coordonnées des points d'intersection des deux cercles donnés (17), elle doit représenter un cercle passant par les points d'intersection de ces deux cercles. On peut encore dire que les trois cercles (17) et (2 3) associés deux à deux doivent avoir même axe radical. L'axe radical du cercle (2 3) associé au premier cercle (17), f= o, a pour équation

(AD/--DA/)^ + (AE/-Eà/)2/ + DD/+EE/~FA/ = o;

de même l'axe radical du cercle (23) associé au deuxième cercle (17), 9 = 0, est

(AD' — DA') x + (AE; - EA') y - DD' — EE' +.AF = o. Écrivant que ces droites coïncident, on retrouve la condition

Comme vérification de cette condition (22), supposons A7 = o ; le second cercle se réduit alors à une droite, et la condition d'orthogonalité doit exprimer que cette droite passe par le centre du premier cercle. C'est bien ce qu'on vérifie.

Remarque. La condition d'orthogonalité (22) est linéaire et homogène par rapport aux coefficients de chacun des cercles. Réciproquement, si entre les coefficients A, D, E, F de l'équation d'un cercle

©n établit une relation linéaire et homogène quelconque

cette relation comparée à la condition (22) exprime que le cercle considéré est orthogonal au cercle fixe

P(a?2-f!/2)-M^-Ni/-fL = o.

Applications. Trouver l'équation du cercle coupant orthogonalement trois cercles donnés

f(œ,y) s? A(x2 -\-yî) + Wx + %Ey + F = o ?(«,|/)-AV + if) + 2D'# + 2E'*/ + F' = o 4/(0,0) = A"(x2 + y2) + 2 Wx + 2 E"y + F" = o. Soit

(24) a(as + ?/) + 2dx + 2^ + /"= o

le cercle cherché ; on doit avoir d'après la condition (22) appliquée au cercle (24) associé à chacun des trois autres et ordonnée par rapport à a, d, e, f

(25) a¥ — 2dD — 2*E + /A = o a¥r — 2dD' — 2é?E' + /A' = o aF" — 2 dh" — 2 ^E" + fk" = o

Si les trois cercles proposés pris deux à deux n'ont pas le même axe radical, ces équations donnent pour les rapports des coefficients a, d, e, f h l'un d'entre eux, un seul système de valeurs; il y a donc alors un seul cercle coupant les proposés à angle droit : on l'appelle le cercle orthotomique. On obtient son équation en éliminant a, 2d, 2e, f entre les équations (24) et (25), ce qui donne sous forme de déterminant

Rien n'empêche de supposer que l'un ou l'autre des coefficients A, A', A" soit nul; le cercle correspondant est alors remplacé par une droite.

Réseau rfE cercles. Soient f{x,y), y(x,y), ty{x,y), les premiers membres des équations des trois cercles précédents qui, associés deux à deux, n'ont pas le même axe radical; l'équation

26) tf(x,y) + wfav) + vW%>y) = o

où l, \l, v sont des coefficients arbitraires, représente une infinité de

cercles formant ce que l'on appelle un réseau. Tous les cercles du

réseau sont orthogonaux à un même cercle fixe, à savoir au cercle orthotomique que nous venons de déterminer. En effet, en ajoutant membre à membre, les équations (25), après avoir multiplié la première par \ la deuxième par [*, la troisième par v, on obtient une relation qui exprime précisément que Je cercle (26) est orthogonal au cercle orthotomique (24).

Réciproquement l'ensemble des cercles orthogonaux à un cercle fixe forme un réseau. En effet, la con^djtio^ pour qu'un cercle S soit orthogonal à un cercle fixe se traàuit par une relation linéaire et homogène par rapport aux quatre coefficients de l'équation du cercle S. L'un de ces coefficients est donc une fonction linéaire et homogène des trois autres qui restent arbitraires et qu'on peut appeler >, \l, v; l'équation du cercle S ordonnée par rapport à>, y., v, prend alors la forme (26) et les cercles S forment un réseau.