ÉQUATION DU CERCLE EN COORDONNÉES POLAIRES

97 ter. Soient Ole pôle et OX l'axe polaire (fig. 63); appe- Ions a et a les coordonnées du centre C, r le rayon, p et w les coordonnées d'un point quelconque M delà circonférence. Dans le triangle OGM5 on a Fig. es. (2,7) p2 — aap cos (w — a)-}- a2 — r2=o.

Lorsque le pôle O est situé sur la circonférence, on a a = r, et l'équation se réduit à

(28) p = 2 r COS (m — a).

Pour montrer une application de cette équation, considérons deux cercles qui se coupent; par l'un des points d'intersection O, menons une sécante quelconque; cette sécante rencontre les cercles en deux autres points M et M'; cherchons le lieu du point milieu de la droite MM'. Si Ton prend le point O pour pôle, les deux cercles sont représentés par les équations

p = af cOS(co — a) , p = 1 r' COS (<o — a'),

DU CERCLE. ^o

et Ton obtient immédiatement l'équation du lieu

p = r cos (w — a) -f- r' cos (w — a') ; cette équation pouvant être mise sous la forme

p = iri COS (to — aj,

le lieu est un cercle passant par le point d'intersection 0 des deux cercles donnés.

IJeux géométriques.

08. On définit les lieux géométriques de plusieurs manières. Tantôt on donne une propriété commune à chacun des points du lieu, et c'est en traduisant cette propriété, à l'aide des signes algébriques, que Ton obtient l'équation du lieu. C'est ainsi que nous avons défini la circonférence du cercle, le lieu des points distants d'un point donné d'une quantité donnée; en exprimant cette propriété commune à tous les points du lieu, nous avons obtenu l'équation de la circonférence (n° 84). Nous avons trouvé de la même manière le lieu des points dont les distances à deux points donnés sont entre elles dans un rapport donné (n° 95); l'expression de cette propriété donne l'équation du lieu. Nous avons aussi obtenu par le même pro cédé l'équation de la perpendiculaire élevée sur le milieu de la droite qui joint deux points donnés (n° 80), et celles des bissectrices des angles formés par deux droites données (n°8i).

Mais on définit ordinairement une ligne PQ (fig. 64) par le mouvement d'un point dans le plan. Chacune des positions du point mobile M est donnée parla construction d'une figure dont les diverses parties ne dépendent que d'un paramètre arbitraire a. D'après cela, les deux coordonnées a? et y du point M sont des fonctions de ce paramètre variable a : soient

x = f{a) , y = fi{a),

ces deux fonctions; nous verrons que l'on obtient l'équation du lieu décrit par le point M, en éliminant le paramètre a entre ces deux équations.

Plus généralement, la construction géométrique détermine chacun des points du lieu par la rencontre de deux lignes mobiles qui dépendent du paramètre a ; soient

(2) Ft{x,y,a) = ot

les équations de ces deux lignes Si Ton attribue à ce paramètre une valeur particulière, on obtient deux lignes À et B qui se coupent en un point M, dont les coordonnées x et y vérifient les deux équations simultanées (i) et (2). Si Ton attribue au paramètre une autre valeur o!y les deux lignes occuperont les positions A' et B' et le Fis- 64- point d'intersection viendra en M'; une

troisième valeur a!' attribuée au paramètre donnera les deux lignes A" et B" et le point d'intersection M", et ainsi de suite, Concevons que l'on fasse varier le paramètre a d'une manière continue, les deux lignes A et B se déplaceront dans le plan d'une manière continue, et le point d'intersection M décrira la ligne PQ.

On obtiendra l'équation de la ligne PQ, lieu du point M, en éliminant le paramètre a entre les deux équations (1) et (2). 'En effet, éliminer a entre les deux équations (1) et (2), c'est trouver un système de deux équations

(3) Fa(ff,y,a) = o,

équivalent au système des deux équations (1) et (2), et tel que l'une d'elles ne renferme plus la lettre a. On dit que deux systèmes d'équations sont équivalents, lorsqu'ils sont vérifiés par les mêmes valeurs attribuées aux variables,. Quand on donne à a une valeur particulière, les coordonnées a? et y du point M, jointes à cette valeur de a, forment un système de valeurs des trois quantités x, y, a vérifiant à la fois les deux équations (1) et (2) ; puisque le système des équations (3) et (4) est équivalent au précédent, ces valeurs vérifient aussi les équations (3) et (4); l'équation (4), ne renfermant pas a, est donc vérifié© par les coordonnées de l'un quelconque des points du lieu.

Réciproquement, tout point M, dont les coordonnées x et y vérifient l'équation (4), appartient au lieu., Car, si l'on détermine une valeur de a qui vérifie l'équation (3), dans laquelle on attribue kxety les valeurs précédentes, on obtient un

GÉOM. ANALYT. 7

système de valeurs des trois quantités x, y, a vérifiant le système des équations (5) et (4). Les équations (1) et (2), formant Un système équivalent à celui-là, seront vérifiées par les mêmes valeurs ; on obtiendra ainsi deux lignes A et B passant par le point M.

Il peut arriver, cependant, qu'à un système de valeurs réelles de x et de y vérifiant l'équation (4) corresponde une valeur de a, pour laquelle les équations (1) et (2) ne représentent pas de lignes réelles ; c'est ce qui aurait lieu, par exemple, si la valeur de a était imaginaire. Mais, dans tous les cas, les valeurs de x, y, a satisferont aux deux équations (1) et (2).

99. Quoique la construction de chacune des positions de la figure, qui donne les divers points du lieu, ne dépende que de la valeur attribuée à un paramètre arbitraire, il est souvent plus commode d'introduire dans le calcul plusieurs paramètres variables a, b, c, ...; mais alors ces paramètres sont liés entre eux de telle sorte que la valeur d'un seul soit arbitraire, et que la variation de ce paramètre détermine, par conséquent, celle de tous les autres.: Si ces paramètres sont au nombre de n, ils seront liés par n — 1 équations de condition.

Supposons d'abord que l'on emploie seulement deux paramètres variables a et b liés par l'équation de condition

(5) cp(a,6)~o, et soient

les équations des deux lignes mobiles A et B, dont l'intersection donne chaque point du lieu.' Si l'on fait varier le .paramètre a d'une manière continue, le paramètre b, qui dépend de a d'après la relation (5), variera aussi d'une manière continue; les deux lignes A et B, dont les équations contiennent ces deux paramètres, varieront aussi d'une manière continue, et leur point d'intersection M décrira la ligne PQ.

On obtiendra l'équation de cette ligne en éliminant les deux paramètres a et b entre les trois équations (5), (6), (7). En effet, éliminer a et b entre ces trois équations, c'est trouver ua

système de trois équations

(8) F2(ar,y,a,ô) = o,

équivalent au système proposé et tel que Tune d'elles ne contienne plus a et b. Quand on attribue à a et b des valeurs vérifiant l'équation (5), les coordonnées x et y du point M, jointes à ces valeurs de a et de b, forment un système de valeurs des quatre quantités x, y, a, b, vérifiant à la fois les trois équations (5), (6), (7). Les trois équations (8), (9), (10), formant un système équivalent au système précédent, seront aussi vérifiées par les mêmes valeurs; l'équation (10), étant indépendante de a et de b, sera donc vérifiée par les coordonnées x et y de chacun des points du lieu.

Réciproquement, tout point M dont les coordonnées x et y vérifient l'équation (10), appartient au lieu ; car, si l'on détermine des valeurs de a et de b qui vérifient les deux équations (8) et (9), dans lesquelles on attribue à x et à y les valeurs précédentes, on obtient un système de valeurs des quatre quantités x, y, a, b vérifiant le système des trois équations (8), (9), (10). Les trois équations (5), (6), (7), formant un système équivalent à celui-là, seront aussi vérifiées, et l'on aura deux lignes A et B passant par le point M. ""

100. Supposons, en général, que l'on emploie n paramètres variables a,b,c,...5h, liés entre eux par n — 1 équations

de condition,

%^(a,b,c,...,h)=o, et soient

(i3) Fi{x,y,a,b,c,.„,h) = o,

les équations des deux lignes mobiles A et B, dont l'intersection donne chaque point du lieu. Quand on fait varier le para-

mètre a, les autres paramètres varient simultanément, et le point M décrit le lieu. On obtient l'équation de ce lieu en éliminant les w paramètres entre les w+i équations (n),( 12), (i3).

101. Nous avons dit que la construction de la figure ne dépend que d'un seul paramètre arbitraire a. Si la figure dépendait de deux paramètres arbitraires a et b, les deux coordonnées x et y du point M seraient des fonctions de ces deux paramètres

On pourrait attribuer à ces paramètres des valeurs telles, que le point M coïncidât avec un point quelconque du plan, ayant pour coordonnées xx et y{ ; il suffirait, pour cela, de déterminer a et b à l'aide des deux équations

xi=f{a,b) , yi=fl{a9b).

Le point M décrirait ainsi tout le plan et non une ligne déterminée dans le plan.

On comprend bien, par là, comment il est nécessaire, lorsqu'on emploie n paramètres variables, que ces n paramètres soient liés par n — 1 équations de condition distinctes ; car, si on pouvait réduire ces équations de condition à un nombre moindre, deux paramètres au n^oins seraient arbitraires.

Il peut arriver que les deux lignes variables A et B se coupent en plusieurs points; le calcul précédent donne le lieu décrit par l'ensemble de ces points.

102. Remarque. Il arrive quelquefois que l'une des deux courbes mobiles A et B, dont l'intersection donne un point M du lieu, passe par un point fixe P. Dans ce cas, les coordonnées de ce point P vérifient l'équation résultant de l'élimination. En effet, supposons que les équations des deux lignes contiennent n paramètres variables liés entre eux par n — 1 relations (n° 1 00) ; si les coordonnées x{ et yl d'un point fixe P satisfont à l'équation de la ligne A, quelles que soient les valeurs des paramètres, en remplaçant x et y para^ et yi dans l'équation delà ligne B. on aura une équation qui, jointe aux n — 1 équations

de condition entre les paramètres, formera un système de n équations pour déterminer les valeurs de ces paramètres. Ce point P sera étranger au lieu géométrique proprement dit, si aux valeurs trouvées ne correspondent pas de lignes réelles. Dans ce cas, il arrive quelquefois que le point P entre dans l'équation par un facteur particulier que Ton peut supprimer; après la suppression de ce facteur, l'équation représente le lieu géométrique lui-même. Mais souvent il est impossible de décomposer en deux facteurs le premier membre de l'équation, et le point P doit être considéré comme un point isolé lié à la courbe.

103. Problème I. Étant donnés un angle XOY et un point fixe P dans

le plan (fïg. 65), par le point P on mène une sécante fixe PBA et une sécante mobile PDG, on mène les droites AD, BG; trouver le lieude leur point de rencontre M . Prenons les droites OX et 0 Ypour axes des coordonnées, et désignons par a?, et yi les coordonnées dupoint P. La sécante fixe PBA aura une équation de la forme

Fig. 65. y—yi=a{œ — œi),

dans laquelle le paramètre a a une valeur constante. De même la sécante mobile PDG sera représentée par l'équation

y—yi = m{x — aff4),

dans laquelle m désigne un paramètre variable. Si, dans chacune de ces équations, on fait successivement y = o, œ = o, on obtient les coordonnées des points où ces droites rencontrent les axes des coordonnées,

y = yi—mxi

En appliquant la formule du n° 67, on a les équations des droites AD, GB,

J«+JL = Ii

■y± yi—mxi

W Vi yl — axi

jj* — ■ — m

Les valeurs de x et y, qui vérifient les deux équations simultanées (i) et (2), sont les coordonnées du point d'intersection M des deux droites AD et BG ; ces coordonnées varient avec le paramètre arbitraire m. Si Ton retranche les deux équations membre à membre, on obtient l'équation

\yi—mxi yi — axi ou plus simplement

qui, jointe à l'équation (1), forme un système équivalent au système des deux équations (1) et (2). Tant que le paramètre m a une valeur différente de a, le premier facteur étant différent de zéro, les coordonnées x et y du point M doivent annuler le second facteur. Ainsi, les coordonnées de chacun des points du lieu vérifient l'équation

yiœ + œ1y = o9 ou

X Xi

Ce lieu est une droite OL passant par l'origine.

Quand m = a, le système des deux équations (1) et (2) se réduit à l'équation (1) ; les deux droites AD et BG coïncident, et leur point d'intersection est un point quelconque de la sécante fixe PA.

Si Ton avait fait l'élimination d'une autre manière, si l'on avait, par exemple, tiré la valeur de m de l'équation (1) pour la porter dans l'équation (2), on aurait obtenu une équation du second degré, dont le premier membre serait décomposable en deux facteurs du premier degré, et qui, par conséquent, représenterait deux droites, le lieu OL et la droite PA. Cette équation serait

{yiX + xM) [y — yi — a {x — xi)] = o.

Remarquons que l'équation (4) ne contient pas le paramètre constant a ; il en résulte que le lieu est indépendant de la position particulière attribuée à la sécante fixe PA. On en conclut le théorème suivant : Étant donnés un angle XOY et un point fixe P dans son plan, si par le point P on mène deux sécantes quelconques PA, PC, le point de rencontre M des deux droites AD etBG est toujours situé sur une même droite OL.

Nous remarquerons encore que l'équation (4) ne dépend que du rapport — > c'est-à-dire du coefficient angulaire de la droite OP. Ainsi le

lieu OL restera le même, si l'on déplace le point P sur la droite OP passant à l'origine.

104, On peut traiter cette question d'une manière plus rapide. Supposons que l'on ait tracé dans le plan deux axes quelconques. Représentons, pour abréger, par a = o, P = o les équations des droites données OA et OB, et par y = o celle de la sécante fixe PÀ. On déterminera le point donné P, non plus par ses coordonnées, mais par l'intersection des deux droites données PA et OP ; cette dernière, passant par le point d'intersection 0 des~3roites OA et OB, a une équation de la forme p + aa = o. La sécante mobile PC, menée par le point d'intersection P des deux droites P-f-aa = o, Y = o, est représentée par une équation de la forme

(i) p + aa-j-my — o,

dans laquelle m désigne un paramètre arbitraire. Le point C, où cette sécante coupe la droite OA, est donné par les deux équations simultanées a = o, p + aa -f my = o, ou plus simplement a = o, P -f my = o ; cette dernière équation représente une droite passant par le point G, et aussi par le point d'intersection B des droites P = o, y = o; c'est donc l'équation de la droite BG. De même, le point D, où la sécante mobile coupe la droite OB, est donné par les deux équations simultanées P = o, P + aa + my = o, ou plus simplement P = o, aa -f mt = o ; la droite représentée par cette dernière équation, passant aussi par le point d'intersection A] des droites a = o, y = o, n'est autre chose que la droite AD. Les deux droites mobiles BG et AD, dont l'intersection détermine un point M du lieu, ont donc pour équations

(2) p + my = o,

(3) aa + my = o.

On obtiendra l'équation du lieu en éliminant le paramètre m entre ces deux équations; si on les retranche membre à membre, on obtient l'équation

(4) p — aa = o.

On en conclut que le lieu est une droite passant par le point O. Cette

droite est indépendante de y, c'est-à-dire de la sécante fixe PA, et elle

est la même quelle que soit la position du point P sur la droite OP.

Nous avons supposé que le paramètre m a une valeur finie; si l'on

remplace m par -, et qu'après avoir multiplié par q, on fasse q~oi

ïes équations (1), (2), (3) se réduisent à y = o; la sécante mobile coïncide avec la sécante fixe PA, ainsi que les deux droites B G et AD.

108. Problème IL Les côtés d'un triangle variable ABC tournent au* tour de trois points fixes V, P', P*, situés ev, ligne droite, tandis que deux

des sommets A et B glissent sur deux droites fixes ID et IE ; trouver le lieu décrit par le troisième sommet G (fig. 66).

ffraçons dans le plan deux axes quelconques, et, pour abréger, re« présentons, comme précédemment, par a = o, p = o, les équations des droites données ID, IE, et par y = o celle de la droite PP'P"; chacun des points fixes P, P', P" peut être défini par l'intersection de cette

droite et d'une droite passant par le point I ; le point I étant le point d'intersection des droites a = o, p = o, les droites IP, IP', IP"ont des équations de la forme

p 4- aa = o, p + a'a = o, p -f- a"a = oy

dans lesquelles a, a', a" désignent des coefficients constants. Pour construire une position particulière de la figure variable, on mènera par le point P une droite arbitraire PA, puis on tracera les droites AP' et BP", dont l'intersection donnera un point G du lieu. Le point P étant l'intersection des deux droites y = o, P + aa = o, la droite PA, menée par ce point, aura une équation de la forme (i) p -f aa -f my = o,

dans laquelle m désigne un paramètre arbitraire. Le point A, où la droite PA coupe la droite ID, est donné par les deux équations simultanées a = o, p -f- aa + my = o, ou plus simplement a = o, p + my = o. La droite AP', passant par ce point, a une équation de la forme p -f my + m'a = o ; il faut déterminer le coefficient m! de manière que la droite passe aussi par le point P', défini par les deux équations Y = o, P + a'a = o; si dans l'équation de cette droite on fait y = o et p = — a'a, on a (m' — a')a = o; comme a n'est pas nulle, puisque le point P' n'est pas sur la droite a=r0, on a m' — a' = o; on prendra donc m' —a'. Ainsi, la droite AP' est représentée par l'équation (2) p + a'a + my = o.

De même, le point B, où la droite PB coupe la droite IE, est donné par les deux équations p = o, p -f aa-j-my — o, ou plus simplement P = o, aa-j-my — o; la droite BP", passant par ce point, a une équation de la forme aa + my + m"p = o ; on déterminera le coefficient m" de manière que cette droite passe par le point P", intersection desdroites y = o, p -f a" a = o ; si dans cette équation on fait y = o et

p = — a"a, on a [a — m" a") a = o ; on prendra donc m" droite BP" est représentée par l'équation

„; ainsi la

ji (? + a"a)+my = o,

Les équations (2) et (3) sont les équations des deux droites mobiles AP' et BP", dont l'intersection donne un point quelconque G du lieu ; on obtiendra l'équation du lieu en éliminant le paramètre m entre ces deux équations; si on les retranche membre à membre, on a l'êqua* tion (4) [a! — a) a"a + {a" — a) p = o.

On en conclut que le lieu cherché est une droite passant par le point I.

106. Corollaire I. On déduit de ce qui précède la solution de ce problème : Inscrire dans un triangle IDE un second triangle, dont les côtés passent respectivement par trois points donnés P, P', P", en ligne droite. Si l'on conçoit un triangle variable dont les côtés soient assujettis à passer par les points P, P', P", tandis que deux des sommets A et B glissent sur les droites ID, IE, le lieu du troisième sommet G est une droite IC. Le point de rencontre G{ des droites IG et DE est donc l'un des sommets G, du triangle cherché; les droites C{ P', Gt P" donnent les deux autres sommets A4 et B4. Il est à remarquer que cette solution n'exige aucun autre instrument que la règle.

Corollaire II. On peut aisément généraliser le problème précédent.

Considérons un quadrilatère dont .les quatre côtés pivotent autour de quatre points fixes P, P', P", P'", situés en ligne droite, tandis que trois sommets A, B, G glissent sur trois droites fixes R, S, T; et proposonsnous de chercher le lieu décrit par le quatrième sommet D (fig. 67).

Les trois côtés du triangle BGE pivotent autour des trois points fixes P, P", P'",

Fig. 67.

tandis que deux sommets B et G glissent sur les droites fixes S et T; le sommet E décrit donc une droite EF. D'après cela, les trois côtés du triangle AED pivotent autour des trois points fixes P, P', P", tandis que deux sommets A et E glissent sur les deux droites R et EF ; le sommet D décrit donc une ligne droite.

Du quadrilatère on passera de la même manière au pentagone. Ainsi, quand les n côtés d'un polygone pivotent autour de n points fixes situés en ligne droite, tandis quen — 1 sommets glissent surn— 1 droites fixes, le nme sommet décrit une ligne droite.

107. Problème III. Étant donné un triangle ABA', par un point fixe

Y 0 pris sur un côté AA', on mène une sé-

I cante mobile OCG', on fait passer un pre-

"X sï m^er cercle par les trois points 0, A, G,

^/^^X/k un second cercle par les trois points 0, A',

/ j /j\ G' ; trouver le lieu du point d'intersection

( J^"^"^\\ ) M de ces deux cercles (fig. 68).

■-\^/ y Prenons la droite OA' pour axe des x

o r 'K^^__^yj u *~ et une perpendiculaire OY, menée par le

\v / point 0, pour axe des y. Si l'on appelle

""" — '" a et ar les abscisses des points A et A', les

Fig- 68« deux droites fixes AB, A'B seront représentées par les équations

(2) y = c' [x — a'), et la sécante mobile par l'équation

(3) y = mx,

dans laquelle m désigne un paramètre variable. On obtient les coordonnées du point G en résolvant les deux équations simultanées (1) et (3), ce qui donne

ca mca

Tout cercle passant par les points 0 et A a une équation de la forme #2 + y2 — oœ — by = o,

dans laquelle le paramètre b est arbitraire. On détermine ce paramètre en exprimant que le cercle passe par le point C, ce qui donne

a (cm -f 1) .

le cercle qui passe par les trois points 0, A, G a donc pour équation

t,\ « , 0 a[cm+ 1)

(4) x2 + y2 — ax -y = o.

Si, dans cette équation, on remplace a et c par a' et c', on obtiendra évidemment l'équation du cercle qui passe par les trois points 0, A', G',

Pour avoir l'équation du lieu du point d'intersection M des deux cercles, il faut éliminer le paramètre variable m entre les deux équations (4) et (5). En égalant les valeurs de m tirées des équations (4) et (5),

on obtient l'équation

c {x2 + y2 — ax) — ay__c' [x2 + y2 — a'x) — a'y [x2 + y2 — ax) + cay ~~ [x2 -{-y2 — a'x) -f- c'aV

qui, mise sous forme entière, s'écrit

[c — c') [{x2 + y2 — aœ) (œ2 -f- y2 — a'œ) + aa'y *] •f (i + ce') y [a' [x2 + y2 — ax) — a {x2 + y2 — a'œ)} = a, ou

(c - c') [{x2 + y2)2 — (a + a') a? (a?2 + 2/2) + aa' (x2 + y2)] + (i + ce') {a' — a)y{x2 + y2) = o)

en mettant x2 + y2 en facteur commun, et divisant par c — c', on a l'équation

(6) (x2+ y*)ïx2 + y2-(a + ïïx — (1 + c^a&~a'\ + aa'] = o.

Cette équation se décompose en deux : l'une,

donne le point O où se coupent toujours les deux cercles mobiles; l'autre,

(7) «s + y*-(a + a')x-{l + ^~a'}y + aa' = o,

«st l'équation du lieu du point M. Ce lieu est un cercle.

On reconnaît à priori que les trois points B, A, A' appartiennent au lieu. Car, si la sécante mobile passe par le point B, les deux cercles se coupent en B ; ce point fait partie du lieu. Supposons maintenant que la sécante devienne parallèle à la droite A'B ; le point C s'éloignant à l'infini, le second cercle coïncide avec la droite OA', qui coupe en A le premier cercle. On obtient de même le point A', quand la sécante devient parallèle à AB. Il est d'ailleurs facile de vérifier sur l'équation (7) que le lieu passe par trois points B, A, A'. Ainsi le lieu demandé est le cercle circonscrit au triangle ABA'.

108. Problème IV. Étant donnés un cercle et un point fixe P, autour du point P on fait tourner un angle droit APB; on joint par une droite les deux points A et B, où les côtés de l'angle droit rencontrent le cercle, et on abaisse du point P une perpendiculaire PM sur la droite AB ; trouver le lieu du pied M de la perpendiculaire (fig. 69) .

Prenons pour axe des x le diamètre OP, pour axe des y le diamètre perpendiculaire ; le cercle donné est représenté par l'équation (1) aj2 + 2/2 r2#

Soit (a) y = ax + b

l'équation de la sécante Ai3. Si l'on élimine y entre les deux équations (i) et (2),onobtientune ôquationdu second degré

(3) (i + a2) #2 + 2 abx + 62— r2 ^ j,

dont les racines sont les abscisses x' et x" des points A et B ; les ordonnées y' et y" auront pour valeurs ax' -f 6, aa?" -h 6. Si l'on appelle c la longueur constante OP, les deux droites PA, PB ont pour coefficients angulaires

ax' + b ax" + b .

Fig. 69.

l'angle APB étant droit, on a la condition

(ax' + b){ax" + b)^ (x' — c) {x" — c) '

qui s'écrit

(i + a2) œV + [ab — c) (a?' + x") + 62 + c2 = o ;

si l'on remplace x' -f o?" et x'x" par leurs valeurs tirées de l'équation (3), on obtient la relation

(4) (i + a2) (c2 — r2) + 2b [ac + 6) = o,

qui lie les deux paramètres variables a et 6.

La perpendiculaire PM, abaissée du point P sur la droite AB, a pour équation

Le point M est défini par les équations (2) et (5), dans lesquelles les paramètres variables a et b satisfont à l'équation (4) ; on obtient l'équation du lieu du point M en éliminant ces deux paramètres entre

les trois équations (2), (4), (5). De l'équation (5) on tire a = -—

ifi L \ro q\ rg

de l'équation (2) on déduit ensuite b = — — • En portant ces

y valeurs dans l'équation (4), on obtient l'équation

[y2 + [x - c)2] x2 + ?/ — ex +

qui se décompose en deux; l'une, y2 + [x — cf = o, donne le point P; l'autre

(7) a?2 + y2 — ex + — — - =of

représente le lieu cherché.

Il est évident que le point P n'appartient pas au lieu géométrique tel qu'on l'a défini; mais il est facile de comprendre comment l'analysa l'introduit dans le résultat. Les coordonnées x = c, y = odu point P vérifient l'équation (5), quels que soient les paramètres; on pourra donc déduire des deux équations (2) et (4) des valeurs correspondantes des deux paramètres a et 6; on trouve ainsi a = ±i, b = — ac. C'est une application de la remarque faite au n° 102.

L'équation (7) montre que le lieu est un cercle ayant son centre sur la droite OP. Pour le construire, il suffit de déterminer les deux extrémités du diamètre CD ; si l'on mène des droites AIT, BA' faisant des angles de 45° avec le diamètre OP, les cordes AA', BB', étant perpendiculaires sur ce diamètre, donneront les deux points C et D.

409. On obtient le même cercle en cherchant le lieu du milieu M' de la. corde AB, Eu etfet^ce ^oint milieu est déterminé ^ar i'inter^çAiQa de la corde AB et de la perpendiculaire abaissée du centre sur cette corde. Ces deux droites ayant pour équations

on obtiendra l'équation du lieu en éliminant les deux paramètres variables a et 6 entre ces deux équations et l'équation (4), ce qui conduit à l'équation

qui se décompose en deux, donnant l'une le point 0 étranger au lieu géométrique, l'autre le cercle.

110. Problème V. Étant donnés une circonférence et un point fixe P, un angle droit tourne autour de son sommet placé en P; trouver le lieu du point de concours M des tangentes menées à la circonférence, aux points de rencontre A et B avec les côtés de V angle droit (fig. 70).

Fls* 70, Prenons pour axe des x

le diamètre OP et pour axe des y le diamètre perpendiculaire; soit r le rayon de la circonférence et c la distance OP ; l'équation de la circonférence donnée est (1) #2-{-y2 = r*.

Représentons par x\ et n/i les coordonnées d'un point quelconque

M du plan, la corde des contacts 'des tangentes issues de ce point sera représentée par l'équation (n° 91)

(2) œiœ + yiy = r*.

On obtient les coordonnées des points de contact en résolvant les équations simultanées (1) et (2). Si Ton considère une solution x, y de ce système, la valeur m du coefficient angulaire de la droite qui joint le point correspondant au point P a pour expression

L'élimination de x et y entre les équations (1), (2), (5), donne l'équation qui détermine les coefficients angulaires des deux droites menées du point P aux points de rencontre de la droite (2) avec la circonférence. Pour faire cette élimination, on résout les équations (2) et (3) par rapport à x et y, et l'on substitue dans (1) ; on obtient ainsi l'équation du second degré

(4) [(r2 — cx^-^r (c2 — r2)?/*]m2-h 2r*y,(c — xjm + r2{r2 — x\) = 0.

Pour que le point M, pris d'abord arbitrairement dans le plan, soit au point du lieu, il faut et il suffit que les directions, qui correspondent aux deux racines de l'équation (4), soient rectangulaires. En exprimant que le produit des racines est égal à — 1, on obtient l'équation du lieu

(a?!2 -f- y^) {r2 — c2) + 2 r 2cxi — 2 rk = o,

que l'on peut écrire ainsi, en supprimant les indices,

Le lieu est une circonférence que l'on construira par la méthode indiquée dans le problème précédent.

Les rayons R et r des deux circonférences, et la distance D de leurs centres satisfont à la relation

Si l'on prolonge les côtés de l'angle droit APB, et que l'on mène les tangentes en A' et B', les points de rencontre des tangentes consécutives sont les sommets d'un quadrilatère variable, qui est en même temps circonscrit au cercle donné et inscrit dans le cercle (5). Ainsi, lorsque les rayons R et r de deux cercles Oi etO et la distance D de leurs centres satisfont à la relation (6), on peut construire un quadrilatère inscrit dans Oi et circonscrit à O, en prenant pour Vun des côtés du quadrilatère une tangente quelconque au cercle 0.

111. Problème VI. Trouver le lieu des points, tels que les pieds des perpendiculaires abaissées de chacun d'eux sur. les trois côtés d'un

LIEUX GÉOMÉTRIQUES. lit

triangle ABC, soient en ligne droite.

IX cos a -j- y sin a — p{ = o,

Soient (i) p cos p + y sin P—p2 — o,

la? cos y -f ?/ sin y — P3 = o,

les équations des trois côtés du triangle, rapportées à deux axes rectangulaires quelconques, et, pour abréger, désignons par a1? pj, yt les premiers membres de ces équations. Appelons x et y les coordonnées d'un point M du lieu, xi et yi9 x2 et y2, x3 et y3 celles des pieds des perpendiculaires abaissées du point M sur les côtés du triangle , on a (n° 83)

as-œ^aj cosa, x — x2 = P4 cos p, x — x3 = fi cos y,

V — Vi = <«! sin a, y — y2 == pi sin P, y — y3 = yt sin y,

Nous obtiendrons l'équation du lieu en exprimant que ces trois points

sont en ligne droite. H faut pour cela égaler les deux rapports — -,

— — — > que l'on peut mettre sous la forme x2 x^

[v* — y) — [yi — y) = (y3 — y) — fe/i—y).

[x2 — x) — [xx — x) (x3 — x) — {x1 — x)

On a ainsi l'équation

Pi sin P — ai sin a yi sin y — o^ sin a

Pj cos P — <*! cos a Yj cos y — a4 cos a

ou (2) 04 p4 sin (P— -a) -j- plTl sin (y— P) +y1a1 sin (a — y) = o.

Les lettres ai, p1? y4 désignant des polynômes du premier degré en x et y, on voit que l'équation (2) est du second degré. Le coefficient du terme en xy est

sîn (a + p) sin (p — a) -f- sin (P + y) sin (y — P) + sin (y -f- a) sin (a — y) ;

si l'on transforme les produits de sinus en différences de cosinus, ce coefficient devient

(COS 2 a — COS 2 P ) -J- (COS 2 P — COS 2 y) -|- (COS 2 y — COS 2 ou

il est égal à zéro. Les coefficients des termes en x2 et en y2 sont

M = cos a cos P sin (P — a) + cos $ cos y sin (y — P) + cos y cos a sin (a — y), N — sin a sin P sin (P — a) -f sin p sin y sin (y — P) + sin y sin a sin (a —Y)* Si on calcule leur somme et leur différence, on a

M — N ~ cos.(a + p)sin (P — a) -f cos (p + y) sin (y — P) + cos (y -f- a) sin (a — y)

sin 2 P — sin £ a + sin 2 y — sin 2 P + sin 2 a — sin 2 y

M;+ N = cos(a — p) sin(p— a) + cos (P — y) sin (y — P) + cos (y — a) sin (a — y)

sin 2 (P — a) -f sin 2 (y •— p) + sin 2 (a -— y)

= — 2 sin (P — a) sin (y — P) sin (a — y) ; on en déduit

M = N = — sin(P — a) sin (y — P) sin (a — y). Ainsi, le lieu est une circonférence du cercle. L'équation (2) étant vèv rifiée quand on y fait pj = 0, yt =0, le point A appartient au lieu; il en est de même des points B et G; le lieu est donc le cercle circonscrit au triangle ABC.

112. De l'équation (2) qui représente le cercle circonscrit à un triangle dont les côtés sont définis par les équations (1) on déduit aisément une propriété importante d'un système particulier de deux cercles. Supposons que les droites (1) soient tangentes à un cercle de rayon r ayant son centre à l'origine 0 des coordonnées; il faudra dans les équations (1) faire $>x =p2z=zp3=zr. Si l'on développe l'équation du cercle (2), elle se met sous la forme

(3) M(#2 + 2/2) — P# — Qy + F = o.

Représentons par R le rayon de ce cercle et par D la distance de son centre Ot au centre 0 du premier; on aura

Les rayons du cercle 0, déterminés par les angles a, p, y, font deux à deux des angles supplémentaires des angles A, B, G du triangle formé par les trois tangentes. On a donc

M = — sin A sin B sin G = ^v

F = r2 (sin A -{- sin B -f- sin G) = 4?,2cos — cos — cos— = =r S,

S désignant la surface du triangle ABG. De ces relations on déduit

— = — 2 Rr, et par suite M

(4) D2 = R2 — 2Rr.

Proposons-nous maintenant de déterminer tous les triangles qui sont en même temps inscrits dans un cercle Oi et circonscrits à un cercle 0, dont les rayons et la distance des centres vérifient la relation (4). Gomme on peut supposer le point 0{ placé sur l'axe des x, les angles a, p, y devront vérifier les conditions

Mais, à cause de la relation (4), à laquelle satisfont les données R, r

et D, on peut remplacer ces trois relations par les deux suivantes :

(5) Q = o % g = ~aRr.

Soient, en effet, R' le rayon d'un cercle circonscrit à un triangle A'B'C, déterminé par des angles a', P', y' qui vérifient les conditions (5), D' la distance de son centre 0' au point 0; on aura, d'après ce qui précède,

— r, = 2R'r , D'2 = R'2 — aR'r.

Mais on a aussi, par hypothèse,

— Tî = 2Rr , D2 = R2 — aRr; M

on en conclut que R7 est égal à R et D' à D. L'un des trois angles a', p', y', assujettis à vérifier seulement les deux conditions (5), peut donc être pris arbitrairement. Ainsi, lorsque les rayons R et r de deux cercles Oi et 0 et la distance D de leurs centres satisfont à la relation (4), on peut construire un triangle inscrit dans Ot et circonscrit à 0, en prenant pour l'un des côtés du triangle une tangente quelconque au cercle 0. 11 existe des théorèmes analogues au précédent et à celui du n° no pour des polygones d'un nombre quelconque de côtés.

113. Il faut remarquer la forme (2) de l'équation du cercle circonc scrit à un triangle. Le premier membre a une

/^ TV^X signification géométrique très-simple. Pour pré- / /4^-\d \ ciser, supposons que l'origine des coordonnées

/ / \ Tii/X \ s0^ placée à l'intérieur du triangle ABC (fig. 7 1 ) ( „/ \ ! / \ 1 et que les angles a, p, y, compris entre o et 2^,

\/x>^ jd-^^J soient rangés par ordre de grandeur croissante. \T N^'j J~" / Considérons un point M ayant pour coordon- \^J^__^^/ nées x et y et situé aussi à l'intérieur du trian-

Fig. 7f. gle; de ce point abaissons des perpendiculaires

sur les côtés et joignons les pieds de ces perpendiculaires pour former le triangle DEF. Les lettres <x4 , Pj , y x désignent les longueurs de ces perpendiculaires affectées ici du signe — ; ces perpendiculaires sont d'ailleurs dirigées dans le même sens que celles qui ont été menées de l'origine et qui ont servi à déterminer les angles <x,p,y. Le terme <*! p4 sin(P — a) étant égal à MDxMExsinDME représente le double de Taire du triangle DME; les deux autres termes représentent de même les doubles des triangles EMF, FMD; ainsi le premier membre de l'équation (2) représente le double de l'aire du triangle DEF.

Considérons maintenant un point M; situé à l'extérieur du triangle ABC. On a, dans le cas de la figure, a4 = - M'D', Pt = — M'E', y4 = + M'F'; le premier membre de l'équation représente le double de la différence qui existe entre le triangle D'M'E' et la somme des deux triangles E'M'F'f

GÉOM. ANALYT. S

F'M'D'; c'est encore le double de l'aire du triangle D'E'F'. Quelle que

soit la position du point M dans le plan, le premier membre de

l'équation représente le double de l'aire du triangle DE F, affectée

du signe + ou du signe — . L'équation (2) exprime donc que l'aire

du triangle DEF est nulle, c'est-à-dire que les trois points D, E, F

sont en ligne droite.

Si l'on appelle r le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC, et

d la distance d'un point ayant pour coordonnées x et y au centre de

ce cercle, le premier membre de l'équation (2), pouvant être mis sous

la forme

est égal à A [d2 — r2). Cette expression conserve le môme signe, tant que la distance d est moindre que r, c'est-à-dire tant que le point M reste à l'intérieur du cercle, et elle prend un signe contraire quand le point M passe à l'extérieur.

Il résulte de ce qui précède que le lieu des points tels que l'aire du triangle ayant pour sommets les pieds des trois perpendiculaires soit égale à une quantité donnée k2, se compose de deux cercles représentés par les équations

atpt sin (P — a) + ptYt sin fj — p) + y1a1 sin (a-y) = ±2 k2.

Ces deux cercles sont concentriques au cercle circonscrit au triangle

ABC : l'un est extérieur et touj ours réel, quelle que soit l'aire donnée;

l'autre est intérieur et n'est réel, que si l'aire donnée est moindre que

Kr2

la valeur absolue de

EXERCICES

i° Exprimer l'aire d'un triangle et d'un polygone quelconque en fonction des coordonnées des sommets.

20 Trouver l'aire d'un triangle formé par trois droites dont on donne les équations.

3° Étant donnés dans un plan n points A, B, C,... et n quantités m', m", m'",... qui correspondent à ces n points; sur la droite AB on prend un point NA, tel que les distances de ce point aux deux premiers points soient dans le rapport de m" à m' '; puis sur la droite N4C qui joint Nt au troisième plan on prend un point N2 tel que ses distances aux points N4 et C soient dans le rapport de m!" à m' + m"; puis 'sur la droite N2D qui joint le point N2 au quatrième point D un point N3, tel que ses distances aux points N2 et D soient dans le rapport de m'" à m' -f m" + m'", et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on soit arrivé au dernier point donné : trouver les coordonnées du dernier point de division que l'on appelle centre des distances proportionnelles.

Lorsque les multiplicateurs mr,m"9 m'",... sont égaux entre eux* le dernier point de division s'appelle centre des moyennes distances.

Comme application, trouver les quantités m', m", m!" qui donnent, dans le cas d'un triangle, soit le centre de gravité, soit le centre du cercle inscrit, soit le point de rencontre des trois hauteurs, soit le centre du cercle circonscrit.

4° Trouver le lieu des points tels que la somme des produits des carrés des distances de chacun d'eux à n points donnés par des quantités constantes m', m", m'",.-- soi* égale à une quantité donnée.

5° Lieu des centres des cercles qui sont vus de deux points donnés sous des angles donnés.

6° Lieu des centres des cercles qui rencontrent, en des points diamétralement opposés, deux cercles donnés.

7° Lieu des points tels que la somme des distances de chacun d'eux à deux droites et en général à plusieurs droites données soit constante.

8° Sur deux droites rectangulaires OX, OY on construit un rectangle variable OABC ayant un périmètre donné va : la perpendiculaire menée du sommet C sur la diagonale AB passe par un point fixe.

9° Ayant fait la figure qui sert à démontrer le théorème du carré de l'hypoténuse d'un triangle rectangle, démontrer que les deux droites qui joignent les extrémités de l'hypoténuse aux sommets des carrés construits sur les côtés opposés se coupent sur la perpendiculaire abaissée du sommet de l'angle droit sur l'hypoténuse.

io° D'un point fixe P on mène des tangentes aux cercles qui passent par deux points donnés ; trouver le lieu du point où la corde des contacts rencontre le diamètre qui passe au point P.

ii° Étant donné un hexagone régulier ABCDEF, on joint AC et AE : par le centre on mène une sécante quelconque qui coupe les deux droites AC et AE aux points G et H ; on joint BG et FH ; trouver le lieu du point de rencontre de ces deux droites.

i2° Les circonférences décrites sur les trois diagonales d'un quadrilatère complet, comme diamètres, ont deux à deux même axe radical. i3° Étant données cinq droites, on en prend quatre qui forment un quadrilatère complet, dans lequel les milieux des trois diagonales sont en ligne droite ; les cinq droites ainsi obtenues se coupent au même point.

i4° Étant donnés trois points A, B, C, et deux droites X, Y : sur AB comme diagonale, on construit un parallélogramme dont les côtés sont parallèles à X et Y ; on opère de même avec B, C et C, A ; les secondes diagonales des trois parallélogrammes passent au même point.

i5° Étant données quatre droites A, B, C, D, on en prend trois pour former un triangle, dont on détermine le point de concours des hauteurs ; les quatre points ainsi obtenus sont en ligne droite.

i6° Étant donnés deux cercles fixes, deux cercles variables sont tan-

116 LIVRE III, CAHPITRE I.

gents entre eux et aux précédents-, trouver le lieu du point de contact des cercles variables.

170 On prend quatre points arbitrairement sur une circonférence : les bissectrices des trois couples de droites qui passent par ces quatre points sont parallèles deux à deux.

180 Lieu du point tel que les cordes de contact des tangentes menée» de ce point à trois cercles donnés se coupent en un même point.

190 On donne un angle AOA' et un point G sur la bissectrice. Un angle de grandeur constante tourne autour de son sommet placé en G, on joint les points de rencontre B et B' des côtés de l'angle mobile avec les côtés de l'angle fixe, du point G on abaisse une perpendiculaire sur BB'; trouver le lieu du pied de la perpendiculaire.

200 On donne quatre droites A, B, C, P, qui, prises trois à trois, forment quatre triangles. La droite A appartient à trois de ces triangles, on joint le centre du cercle circonscrit à chacun d'eux au sommet non situé sur A ; les trois droites ainsi obtenues se coupent en un même point i; les quatre points analogues à I et les centres des quatre cercles sont sur une même circonférence.

2i° Étant donnés divers cercles qui, pris deux à deux, admettent le même axe radical ; si un cercle variable coupe deux de ces cercles sous des angles constants, il coupera également chacun des autres cercles sous un angle constant.

220 Le lieu des centres des cercles orthogonaux à deux cercles fixes est Taxe radical.

23° Montrer que le cercle, coupant orthogonalement trois cercles

donnés

f=o, 9 = 0, ty — o

qui, pris deux à deux, n'ont pas le même axe radical, est le lieu des points dont les polaires, par rapport à ces trois cercles, sont concourantes.

240 Démontrer que les points limites d'un faisceau de cercles et le point à l'infini sur Taxe radical ont chacun même polaire par rapport à tous les cercles du faisceau.