GENRE ELLIPSE

115. Considérons d'abord le cas où le coefficient M, c'està-dire B2 — AG a une valeur négative. L'ordonnée Y n'est réelle que si le trinôme a une valeur positive. Le cas que nous examinons se subdivise à son tour en trois autres, suivant la nature des racines de ce trinôme.

i° N2 — MP > o. Les deux racines du trinôme sont réelles et inégales. Désignons par x' la plus petite et par x" la plus grande; le trinôme peut s'écrire

M(x — x') {x ~~< x"), ou — M(x — x') (x" — x) ;

le trinôme est positif, et, par conséquent, l'ordonnée Y est réelle, pour toutes les valeurs de x comprises entre x' et x"; le [trinôme est au contraire négatif, et l'ordonnée imaginaire pour toute valeur de a? plus petite que x' ou plus grande que x". Prenons sur l'axe des x deux points P' et P" ayant pour abscisses x'et x"% et par les points P' et P" menons des parai-

lèles P'A', P"A" à Taxe des y ; la courbe sera toute entière comprise entre ces deux parallèles. L'abscisse # variant de x' à #", l'ordonnée Y conserve une valeur finie, et part de la valeur zéro pour revenir à zéro; on a ainsi une courbe fermée, qui passe par les points A! et A", et à laquelle on a donné le nom d'ellipse.

Une valeur de x comprise entre x' et x" sera l'abscisse d'un point P compris entre P' et P", et la valeur correspondante de Y sera égale à

i V/(— M)PP'. PP".

Le produit variable PP' X PP" des deux segments de la droite P'P" est égal au carré de l'ordonnée du cercle décrit sur P'P" comme diamètre; quand le point P va de P' au point I, milieu de P'P", l'ordonnée du cercle, et par suite la quantité Y qui lui est proportionnelle, va en augmentant; elle diminue au contraire, quand le point P va de I en P". La quantité Y acquiert donc sa valeur maximum, quand le point P est en I, c'est-àdire quand x— —^ — =— — ; cette valeur maximum est égale i M

a i '-Il A partirdupointC, milieu du diamètre A' A",

portons sur l'ordonnée, et, de part et d'autre, une longueur égale à cette valeur maximum, nous aurons deux points B'et B" de la courbe, et, en menant par ces points des parallèles au diamètre, nous formerons un parallélogramme FGKH, dans lequel sera comprise l'ellipse.

Il est clair qu'à deux points P et Q également distants du milieu I correspondent des valeurs égales de Y; ces valeurs, portées de part et d'autre du diamètre DD', donnent les quatre points M, M', N, N'. Les deux triangles CRM, CSN' étant égaux, les trois points M, C, N' sont en ligne droite et le point C est le milieu de MN'; ainsi tous les points de la courbe sont deux à deux symétriques par rapport au point C, milieu du diamètre A' A"; ce point G est donc le centre de l'ellipse. On }voit également que les droites MN, M'N' sont parallèles au diamètre A' A" et partagées cbacune en deux parties égales

par la droite B'B"; cette droite est un second diamètre. Les deux diamètres A'A", B'B", qui partagent chacun en deux parties égales les cordes parallèles à l'autre, sont dits diamètres conjugués de l'ellipse.

a0 N2 — MP = o. Les deux racines x' et x" sont égales, et l'on a

afi

le coefficient M étant négatif, la quantité Y est imaginaire pour toutes les valeurs de x, excepté pour x = xf, et alors Y = o; l'équation n'admettant qu'une solution réelle, le lieu est un point unique C placé sur la droite DD'. 3° N2 — MP < o, Le trinôme.

™ 2 i xi i r> xrf , NV « MP-N2

Mx2 + zNx + V ==M[x + -J H ,

est négatif, et par conséquent Y imaginaire, pour toutes les valeurs de x; l'équation, n'ayant pas de solution réelle, ne représente aucun lieu géométrique.

116. Considérons maintenant le cas où le coefficient M a une valeur positive: ce cas se subdivise aussi en trois.

l, i° N2 — MP > o. Le trinôme

que Ton met sous la forme

est positif, et, par suite, Y est réelle, quand x varie de x" à -f-oo et de x' à — oo ; d'ailleurs Y varie en même temps de 0 à oo. Prenons, comme précédemment, sur l'axe des x deux points P' et P" ayant pour abscisses x' et x" et menons par ces points deux parallèles P;A', P 'A7 à l'axe des y; la courbe sera située en

Fig. 73.

dehors de ces parallèles; elle se compose de deux parties séparées Tune de l'autre et s'étendant à l'infini (tîg. 73), on a donné à cette courbe le nom d'hyperbole. Si à partir du point I, milieu de P'P", on prend deux longueurs égales IP et IQ de part et d'autre sur l'axe des x, les valeurs corespondantes de Y sont égales; le point G, milieu de A A", est le centre de la courbe, et les deux droites DD' et IG sont deux diamètres conjugués.