GENRE PARABOLE

120. Supposons enfin que le coefficient M ou B*-AG soit nul. La valeur de Y se réduit à

Nous subdivisons ce cas en plusieurs autres.

i° N > o. Si Ton pose = x', on a

Quand a? varie de x' à + oo, la quantité Y est réelle et varie de o à +°°î ma*s e^e es^ imaginaire pour les valeurs de x inférieures kx'. Si donc par le point P', dont l'abscisse est xf, on mène P'A' parallèle à l'axe des y, la courbe est tout entière située à droite de cette parallèle; elle passe par le point A' et s'étend à l'infini de part et d'autre du diamètre DD' (flg. 75); on a donné à cette courbe le nom de parabole, 20 N < o. La quantité Y est réelle quand x varie de x! à — 00;

la courbe passe par le point A' et s'étend à l'infini du côté

des x négatives; on l'appelle aussi parabole.

Fig. 75.

3° N = o. La valeur de y se réduit à

Bx + E

Si P est positif, cette équation représente deux droites, parallèles au diamètre DD', et situées à égale distance de ce diamètre. Si P = o, ces deux parallèles se confondent avec le diamètre; enfin, si P est négatif, l'équation n'a pas de solution réelle.

I21.Nousavons supposé, dans ce qui précède, que le coefficient G est différent de zéro. Lorsque le coefficient G est nul, et le coefficient A différent de zéro, on pourrait résoudre l'équation par rapport à x et construire le lieu comme précédemment; le premier terme du trinôme placé sous le

radical ayant pour coefficient M = B2, quantité positive ou nulle, le lieu sera du genre hyperbole ou du genre parabole. Mais il est préférable de résoudre l'équation par rapport à la variable qui n'y entre qu'au premier degré; d'ailleurs, cette méthode est seule applicable quand les deux coefficients k et G sont nuls à la fois.

En ordonnant l'équation (i) par rapport à y, on a

d'où

s{Bx -f E) y + Ax2 + 2D^ + F = o, Ax2 + iDx + F

2{Bx + E)

Supposons d'abord que B soit différent de zére, et effectuons la division, en ordonnant par rapport aux puissances décroissantes de x, jusqu'à ce que l'on arrive à un reste indépendant de x. Nous distinguerons deux cas, suivant que le reste est différent de zéro ou égal à zéro. Dans le premier cas on obtiendra un résultat de la forme

y = ax + b +

àx -f- b +

Pour fixer les idées, supposons e>o, Construisons le lieu auxi-

liaire défini par l'équation y = ax + b> et posons Y = ■ -, .

L'équation y = ax -f- b représente une droite HL (fig. 76) ;

pour chaque valeur de x, il faut augmenter l'ordonnée de

cette droite d'une quantité QM égale à la valeur de Y. Cette quantité devient infinie pour x = d; prenons donc un point I ayant pour abscisse d et menons H'L' parallèle à OY. Si l'on donne à x une valeur d -(- x', xr étant positive, Y a une valeur positive, et quand x' tend vers zéro, Y augmente indéfiniment;

si, au contraire, x* augmente indéfiniment, Y tend vers zéro;

on obtient ainsi une première courbe comprise dans l'angle

Fig. 76.

L'CL et formée de deux branches infinies, asymptotes respectivement aux deux droites CL et CL'. Aux valeurs de x inférieures à d correspondent des valeurs négatives de Y. et l'on-, obtient une seconde courbe comprise dans l'angle HCH', et formée de deux branches infinies asymptotes aux droites CH, CK'. A deux valeurs de x' égales et de signes contraires, correspondent des valeurs de Y qui sont aussi égales et de signes contraires, et par suite, deux points M et M' symétriques par rapport au point C qui est centre de la courbe. Si la constante c était négative, on obtiendrait encore une courbe formée de deux parties distinctes, situées dans les angles HCL', H'CL. Dans les deux cas, la courbe est une hyperbole. Si le reste de la division est nul, on a

Ax2 + aux + F = — 2(B* + E) (ax + 6),

et réquation prend la forme (y— ax — 6) (Bx + E) = o ; elle se décompose en deux autres, y — ax — ô = o, B#-j-E = o, qui représentent deux droites, dont l'une est parallèle à Taxe des y.

Lorsque A est nul en même temps que C, il suffit de faire dans la discussion précédente a = o ; la droite DD' devient parallèle à Taxe des x ; on obtient ainsi, soit une hyperbole ayant ses asymptotes parallèles aux axes des coordonnées, soit deux droites respectivement parallèles aux axes.

Lorsque les deux coefficients B et C, sont nuls, la valeur de y est de la forme y = ax2 + bx + c ; elle est réelle quelle que soit la valeur de x; en faisant varier x de — oo à -f- oo, on obtient une courbe détendant à l'infini dans les deux sens ; c'est une parabole.

122. Résumé. Dans la discussion de réquation du second degré, nous avons trouvé trois espèces de courbes : des courbes fermées, des courbes formées de deux parties distinctes s'étendant à l'infini dans les deux sens, des courbes formées d'une seule partie s'étendant à l'infini dans les deux sens. On a donné à ces trois espèces de courbes les noms d'ellipse, d'hyperbole et de parabole,

Nous avons vu au commencement de cet ouvrage (liv. I, ohap. II) que les courbes désignées par les mêmes noms en Géométrie élémentaire sont représentées par des équations du second degré. Nous verrons plus tard que, réciproquement, toutes les courbes représentées par l'équation du second degré jouissent des propriétés qui servent de définitions en Géométrie élémentaire, de telle sorte que les deux modes de définitions sont équivalents.

En résumant la discussion, on voit que c'est le signe delà quantité M = B2 — AG qui indique l'espèce de la courbe représentée par l'équation du second degré; la courbe est une ellipse, une hyperbole ou une parabole, suivant que la quantité M est négative, positive ou nulle.

Toutefois il importe de se rappeler que l'équation ne représente pas toujours une courbe, ni même un lieu; lorsque la quantité M est négative, l'équation représente une ellipse ou un point, ou n'admet pas de solution réelle; lorsque cette quantité est positive, l'équation représente une hyperbole, ou deux droites qui se coupent; enfin quand M — o, l'équation représente, soit une parabole, soit deux droites parallèles, ou une seule droite, ou elle n'admet pas de solution réelle.