DE L'ÉQUATION

M<0 Ellipse.

N2]MP>o N2 — MP<o

N2 — MP = o

Si G = 0 la courbe n'est jamais une ellipse.

Ellipse réelle.

Ellipse imaginaire Point.

a2+ P2— Âfco a2 + P2+*2=0 a2+(52=0

M>o, Hyperbole.

N2 — MP^o N2 — MP = o

Hyperbole.

Deux droites qui se coupent.

a2— P2dz£2=:0 a2— p2=0

M=o Parabole.

N = o,P>o Nmo,P<o N=o, P = o

R . 1 D-2— AF>o

**— o ( D»— AF=o

Parabole.

Droites parallèles réelles.

Id. imaginaire.

Droites confondues.

La constant valeur -ï- (-

e c qui figure dans la troisième colonne a pour -AE2— FB2 + 2BDE).

Ce tableau rend manifeste ce fait que si M < o, avec N2 — MP<o l'équation ne représente aucun lieu, car son premier membre est alors une somme de trois carrés a2 | ps | ^2 qUi ne peut s'annuler pour aucune valeur réelle des coordonnées : on convient de dire que l'équation représente une ellipse imaginaire. De même on voit immédiatement que si M < o avec N2 — MP = o l'équation représente un point, car son premier membre a2 + P2 étant une somme de deux carrés ne peut s'annuler qu'au point dont les coordonnées annulent à la fois ces deux carrés, c'est-à-dire

N Cty + B#+E et x-\- rr .Dans le cas du genre hyperbole,

l'équation représente toujours un lieu : si N2 — MP = o, elle représente, comme nous avons vu, deux lignes droites qui se coupent; cela est évident d'après le tableau précédent, car l'équation, étant alors de la forme a2 — fi2 = o, se décompose en un produit de deux facteurs réels du premier degré

GEOM. ANALYT.

(a -h p) (a — p) = o ; elle est donc équivalente au système de deux équations

qui représentent deux droites passant par le point d'intersection de a = o et p = o. Par analogie avec ce cas, on dit quelquefois qu'une ellipse point est un ensemble de droites imaginaires qui se coupent, car l'équation est alors de la forme a2 -f- p2 = o et est algébriquement équivalente à l'ensemble des deux équations linéaires

a + p V/— ï = ° a — P V/— * = ° qui ne représentent rien, mais qu'on convient d'appeler équations de deux droites imaginaires conjuguées: ces deux équations sont satisfaites par les coordonnées du point qui annu]ent à la fois a et p, c'est-à-dire du point auquel est réduite l'ellipse. On convient de dire que les deux droites imaginaires se coupent en ce point.

ao G = o. La courbe n'est alors jamais du genre ellipse.

Si B est différent de zéro, on peut, comme on Fa vu dans le n° 121, mettre l'équation sous la forme

-d où la constante c qui est le reste de la division de

— (A.x2 + iVx + F)

pa 2 B / x + ~ ) a pour valeur

c = ^rj (— AE2 — FB2 + 2BDE) ;

l'équation s'écrit donc en chassant le dénominateur

(y — ax — b) (x — d) — c = o .

Le premier terme est un produit de facteurs linéaires en x et y : on peut aussi le mettre sous la forme d'une différence de carrés a2 — -p2 en écrivant

(ij — ax — b-^-x — dy (y—-ax — b—x-\-dy _____

équation de la forme <x2 — p2 — c = o, c désignant une constante positive négative ou nulle.

Si c est différent de zéro, on a une véritable hyperbole; si c = o, le premier membre de l'équation se décompose en un produit de deux facteurs linéaires et la courbe se compose de deux droites qui se coupent.

Si B est nul en même temps que G, E étant différent de o, Téquation est

elle représente une parabole et peut s'écrire sous la forme a2 — y = o, a et y désignant deux fonctions linéaires dont la première se réduit à x. Si en outre E est nul, l'équation est un trinôme en x égal à zéro : on peut l'écrire :