D2— AF
elle représente deux droites parallèles réelles, imaginaires ou confondues, suivant que D* — AP est positif, négatif ou
nul. Le terme œ + -r est une fonction linéaire a, la eon-
stante — — — est de la forme db k* ; l'équation est donc
alors de la forme a2 ± ¥ = o.
Ces résultats sont résumés dans le tableau de la page 129; les différentes hypothèses correspondant au cas G = o sont résumées dans la troisième colonne.
Remarque. Si l'on forme la quantité N2— MP, en remplaçant M, N, P par leurs valeurs en fonction des coefficients A, B, G, D, E, F, on trouve
(9) N2-MP = -C(ACF— AE2 — CD2 -FB2+2BDE). La quantité, entre parenthèses, qui joue un rôle important dans la théorie, se nomme le discriminant de la courbe : on la désigne par A :
A = AGF — AE2 - CD2 — FB2 + 2BDE.
Il résulte de la discussion que nous avons faite et qui est résumée dans le tableau précédent que la condition nécessaire et suffisante pour que la courbe soit un système de deux droites réelles, imaginaires ou confondues est
En effet, si G et M ne sont nuls ni l'un ni l'autre, la condition nécessaire et suffisante pour que l'équation représente deux droites est N2 — MP = o , c'est-à-dire d'après (9) A = o; si G est différent de zéro et M nul, cette condition est N = o c'est-à-dire encore A == o.
Si C = o, et B différent de zéro, la condition est c = o, c'est-à-dire d'après la valeur de c , A = o.
Si G et B sont nuls, cette condition est E = o , c'est-à-dire encore A = o .
124. Cherchons directement la condition nécessaire et suffisante pour que l'équation générale du second degré représente deux droites réelles ou imaginaires, c'est-à-dire pour que son premier membre puisse se décomposer en un produit de facteurs linéaires en x et y :
Remplaçons dans cette identité x et y par - et -, puis
chassons le dénominateur z2, nous aurons une nouvelle identité de la forme
(n) f(œ,y,z) = QR
où f(x,y,z) = Ax2 + iBxy -f Gif + iDxz + iEyz + F*2 Q = lx-\-my-\-pz , R = l/x-\-mfy-\-p'z.
Inversement, si l'identité (n) a lieu, on remonte à l'identité (10) en faisant £=1. Prenons les dérivées partielles successives des deux membres de l'identité (n) par rapport à x,ysz, nous aurons
% = 2(Aœ + By + Dz) = m + l'Q
(i 2) fy = i(Bx + Cy + E*) = mR + m'Q
fr = z(Dx+Ey + Fz) =pB +/Q.
Il existe évidemment au moins un système de valeurs de #,£/,£ , x = a , y = b , z = c qui annulent à la fois les fonctions linéaires P et Q , a 9 b 9 c n'étant pas nuls tous trois. D'après les identités (12), les mêmes valeurs a, b9 c annulent simultanément f^ , f , f;z. Ainsi, lorsque la conique est décomposée en deux droites, les trois équations
kx + By + Bz = o
(i3) Bx + Cy +Ez=o
Bx-\-Ey-\-Fz =0
linéaires et homogènes en x9y.z admettent au moins une solution x = a , y = b , z = c dans laquelle les trois inconnues ne sont pas nulles à la fois. Donc le déterminant des coefficients
est nul. Ce déterminant n'est autre chose que le discriminant écrit plus haut (Remarque) sous forme développée.
La condition A = o est donc nécessaire. Elle est suffisante. En effet, supposons-la remplie : il existe alors un système de valeurs a, b, c, de x, y, z, non nulles toutes trois, vérifiant les équations (i3), c'est-à-dire annulant fx , f'y , f'z. Soit par exemple c différent de zéro : faisant le changement de variables,
x = az' -j- x!
(14) y = bzf + yr
z = czf ,
la fonction f(x, y, z) deviendra
434 LIVRE III, CHxVPITRE I.
f(az' + x\ bz'-\-y\ cz%
c'est-à-dire en développant et se rappelant que la fonction est homogène et du second degré en x, y, z et que par suite ses dérivées sont homogènes et du premier degré, f(œ, y,z) = *' «fia, b9c) + x'z'fa + y'z'f'b + A^'2 + » Bx'yf + Cy>* . Les dérivées f'a et f sont nulles : f(a, b, c) est nul aussi en vertu de l'identité facile à vérifier (théorème des fonctions homogènes).
a/(a,M) = aft + Vi + tf;.
La fonction f(x^y^z) est doncidentiqueàl'expression Ax'* + %Qx'y' -f-Q/'2 qui se décompose évidemment en un produit de deux facteurs linéaires (lx'-\- py') (XV -|- pfy!) et l'on a identiquement
f(%,y1z) = (\x' + M')(Vx' + [,Jy>).
Revenant aux variables x,y, z à l'aide des équations (14) qui donnent
z' = - , acf = x — -z , y=zy — -zi ce 0
on a pour /une expression de la forme
f(x, y, z) = (Ix + wiy -\-pz) (}'% + m'y + p'z). Remarque. Nous désignerons par a, b, c, d, e, f les mineurs du discriminant A relatifs aux éléments A, B, G, D,E,F; ainsi
a = CF — Es , b = DE~-BF , c = AF — D' d = BE — CD , e=BD-AE , f=AC~B2.
Le genre de la conique dépend du signe de f : quand f est nul, la courbe est du genre parabole.
D'après ces notations, on a en développant le déterminant A par rapport aux éléments d'une ligne
Ar=Aa + Bb + Dd = Bb + Cc + Ee = Dd + Ee + Ff.
124 bis. Pour terminer, cherchons les conditions néces-»
saires et suffisantes pour que la conique soit formée de deux droites confondues. Le premier membre de l'équation est alors le carré parfait d'une fonction linéaire des coordonnées et Ton a l'identité
(i5) f(x, y,z) = (lx + my-\-pz)*.
En prenant les dérivées partielles des deux membres de cette identité, on voit immédiatement que les trois équations linéaires (i3) se réduisent à une seule
( 1 6) lx + wiy -\-pz = °-
Elles ont donc leurs coefficients proportionnels, ce qui revient à dire que tous les mineurs de A sont nuls.
Par exemple,
, les conditions
donnent en chassant les dénominations f==o , d = o; etc.. On peut aussi vérifier directement ces conditions, car l'identité (i5) donne
À = JS G = m\¥=p2 B = lrn,D=lp, E == mp.
Formant les mineurs a, b, c,... on trouve qu'ils sont tous nuls.
Ces conditions (17) sont d'ailleurs suffisantes pour que le premier membre de l'équation soit un carré parfait. En effet, si elles sont remplies, les trois coefficients A, G, P ne peuvent être nuls tous trois, car les conditions (17) exigeraient que B, D, E fussent nuls aussi et tous les coefficients seraient nuls. Supposons alors A différent de zéro, on aura
A jf (# , y, z) = k2x* + 2 AB xy + kCif + 1 ADxz+ % kEyz + AFs*.
Or, d'après les conditions (17) supposées remplies, on a
