TANGENTE AUX COURBES DU SECOND DEGRÉ

125. Soit /(a?, y) = 0 l'équation d'une courbe; si Ton appelle x et y les coordonnées du point de contact M, X et Y les coordonnées variable d'un point quelconque de la tangente, nous avons vu (n° 89) que la tangente est représentée par l'équation

(X-*)£ + (Y-y) /,' = <>, ou X^ + Y/^-(^ + y/';) = o.

Lorsque la courbe est du second degré, on a

f(x, y) = kx* -f zBxy + Cy2 + iDx + iEy + F; £ = a(Aa + By + D) , /^(Ba+Cy + E), */* + Vfy = *&x* + *Bay + Cif + Da> + Ey).

Le point de contact M étant situé sur la courbe, ses coordonnées x et y vérifient l'équation

(1) Ax*+2Bxy + Cy* + zT)x+z'Ey-{-F==o;

on en déduit

A#2 + *Bxy + Cy2 = — (iJ)x + iEy -f F),

et, par suite,

■vK + Vfl = - -a(Da? + Ey+F).-

L'équation de la tangente, au point dont les coordonnées sont x et y, devient ainsi

(2) (Aar + By + D)X + (B«+Cy + E)Y + (Da? + Ey + F)=o.

On remarque que les coordonnées x et y du point de contact n'y entrent qu'au premier degré. Gomme cette équation peut être mise sous la forme

(3) (AX+BY+D)rp+(BX+CY + E)y + (DX+EY+F) = o, on remarque aussi qu'elle ne change pas, quand on permute X et x, Y et y.

Proposons-nous maintenant de mener des tangentes à la courbe par un point donné P, non situé sur la courbe, et ayant pour coordonnées Xi et y^. Prenons pour inconnues les coordonnées x et y de l'un des points de contact M; ces coordonnées doivent vérifier l'équation (i); la tangente au point M est représentée par l'équation (2) ; cette tangente devant passer par le point P, les coordonnées de ce point vérifieront l'équation (2) ou l'équation (3), et Ton aura

(4) (Aa?1+By,+D)a?+(Ba?i+Gy1+E)y+Da?1+Ey1+F = o.

Les coordonnées x et y sont donc déterminées par les deux équations simultanées (1) et (4). L'une étant du second degré, l'autre du premier degré, le système de ces deux équations admet deux solutions, et Ton peut mener par un point donné P deux tangentes à une courbe du second degré. La résolution de ces deux équations revient à chercher les points d'intersection des lignes définies par chacune d'elles; la première est la courbe proposée, la. seconde une droite passant par les deux points de contact. On peut remarquer que l'équation (4) de la corde des contacts a la même forme que l'équation (2) de la tangente; il suffit de remplacer dans celle-ci les coordonnées du point de contact par celles du point P.

126. Cherchons la condition pour qu'une droite y = mx-\-k soit tangente à une courbe du second degré. Si dans l'équation (1) on remplace y par mx-\-k, on obtient une équation

du second degré en x, donnant les abscisses des points d'intersection de la droite et de la courbe; la droite devient tangente, quand les deux racines sont égales; on obtient ainsi l'équation de condition

am2 — 2hm 4- c -f- iAmk — ieh + îk2 = o. Si Ton prend l'équation de la droite sous la forme ux -f- vy -)- 1 = o, la condition devient

(5) aw2 + abwv + cv2 -\- 2dw -f- 2ey -f- f = o.

On rendra le calcul plus symétrique de la façon suivante. Considérons la droite

tiX + wY-|-i=o et supposons qu'elle soit tangente à la courbe au point de coordonnées x et y. Alors l'équation de la droite devra être identique à celle de la tangente en ce point et l'on devra avoir, en désignant par X un coefficient de proportionalité : u = ï(Ax + By + D)

(6) v=l(Bx + Cy + K) ,=\ÇDx+Ey + F).

En multipliant la première de ces équations par a?, la deuxième par y et les ajoutant à la troisième on a :

ux + vy+ l= \(Ax2 + 2Bxy+Cy2 + 2Dx+2Ey+F); comme le point x,y est sur la courbe, le second membre est nul et l'on a :

ux -f- vy + i = o ou \{ux-\-vy-\-\) = o.

Cette équation jointe aux équations (6) donne un système de quatre équations du premier degré en "kx, \y et \. L'élimination de ces trois quantités fournit la condition cherchée sous forme d'un déterminant :

dont le développement conduit à l'équation (5).