CENTRE
127. Nous avons appelé centre d'une courbe un point fixe C, par rapport auquel tous les points de la courbe sont symétriques deux à deux. En discutant l'équation générale du second degré, nous avons reconnu que l'ellipse et l'hyperbole ont un centre. Nous nous proposons maintenant de rechercher directement le centre d'une courbe du second degré, sans résoudre l'équation. La méthode que nous suivrons repose sur ce théorème : quand l'origine des coordonnées est centre d'une ligne du second degré, l'équation de la ligne ne contient pas de termes du premier degré.
Soit, en effet,
(i) kx* + <&xy + Q/2 + 2D* + 2Ey + F = o
l'équation d'une ligne du second degré ayant l'origine pour centre (fig. 77) ; l'équation d'une droite MM' menée par l'origine est de forme y = mx. L'élimination de x entre cette équation et celle de la courbe donne l'équation
Fig. 77.
(2) (A + iBm + Cm") x2 + 2 (D -{- Em) on -f F = o,
qui détermine les abscisses des deux points de rencontre. L'origine étant le milieu de la droite MM', l'équation précédente doit avoir ses deux racines égales et de signes contraires, ce qui exige que le coefficient de la première puissance de x soit égal à zéro; on a ainsi D + Ew = 0, et, comme cette con-
dition doit être vérifiée pour une infinité de valeurs de m, on doit avoir séparément D=o, E = o. Réciproquement, lorsque ces conditions sont remplies, l'équation (2) a ses deux racine? égales et de signes contraireSj quelle que soit la valeur de mt et, par suite, l'origine est centre de la courbe.
128. Pour reconnaître si un lieu du second degré a un centre, on transportera les axes parallèlement à eux-mêmes en un point arbitraire, dont nous désignerons les coordonnées par a et b, puis on examinera si Ton peut déterminer ces quantités de manière que la nouvelle équation ne renferme pas de termes du premier degré.
Les formules pour déplacer les axes parallèlement à euxmêmes sont œ = a -\- œ\ y=b-{-y'. En substituant dans l'équation (1), on obtient l'équation nouvelle
{5)Ax'2 + 2Bxy+Cy'* + 2(ka + Bb+J))x,+ 2{Ba+Cô + E)y + Aa2 -j-2Ba£ + Cb2 + 2Da + 2E6 +F = 0,
dont il importe de remarquer la composition. Désignons, pour abréger, par f{x,y) le premier membre de l'équation (1) qui est une fonction entière du second degré en x et y\ dans l'équation (3), les termes du second degré sont les mêmes que dans l'équation (1); les termes du premier degré ont pour coefficients les dérivées partielles de la fonclion / (x, y) prises par rapport aux variables x et y, et dans lesquelles on a remplacé ces variables par a et b; enfin le terme constant est la valeur que prend le polynôme f{x% y) pour x = a, y = b. L'équation (2) peut donc s'écrire ainsi :
(4) Aa?'2 + aBay + ty*+f. (a, b) œ' +/,' (a, %' + f(a, b) = o.
En égalant à zéro les coefficients de xr et de y\ on obtient les deux équations du premier degré
( Aa + Bô + D=:o.
( } j Ba + C6+E = o.
On voit par là que l'on détermine le centre d'une courbe du second degré en résolvant les deux équations que ton obtient en èga-
lant à zéro les dérivées partielles du premier membre de l'équation proposée, prises par rapport à x et à y.
129. Si Ton considère a et 6 comme des coordonnées variables, chacune des équations (3) définit une droite, et il y a lieu de distinguer plusieurs cas, suivant que le dénominateur commun des valeurs des inconnues, ou le déterminant AG — B* que nous avons représenté par - M ou f, est différent de zéro, ou égal à zéro.
a0 Lorsque le déterminant f est différent de zéro, les deux équations sont vérifiées par un système de valeurs de a et de b et par un seul ; les deux droites se coupent ; la ligne admet un centre et un centre unique, dont les coordonnées sont, d'après les notations du n° 124
20 Lorsque le déterminant f est égal à zéro (genre parabole), les droites sont parallèles ou se confondent; dans le premier cas, le lieu n'a pas de centre; dans le second cas, il admet comme centre chacun des points de la droite définie par Tune des équations (5). Il est facile de voir que, dans ce dernier cas, le lieu, s'il existe, se compose nécessairement de deux droites parallèles. Soit, en effet, CC la droite lieu des centres (fig. 78), et M un point appartenant au lieu; joignons le point M aux divers points de la droite CC, et prolongeons chacune de ces droites d'une longueur égale à elle-même, les points N, N',
Wig. 78. ° r
N7..., ainsi obtenus, appartiendront encore au lieu; or, tous ces points sont situés sur une parallèle à CC. En opérant de même avec le point N, on aurait une seconde parallèle MM7. D'ailleurs, l'équation (1) ne peut pas représenter d'autres points que ceux de ces droites; autrement une droite rencontrerait le lieu en plus de deux
points. Si le point M était situé sur la droite CC, les deux parallèles se confondraient avec le lieu des centres.
130. Lorsque la courbe admet un centre, si l'on transporte les axes parallèlement à eux-mêmes en ce point, l'équation se simplifie et devient
(7) kx" + iBx'y' + Ci/* + H = o,
puisque les termes du premier degré disparaissent. Le terme constant H de la nouvelle équation a pour valeur
H = Aa2 + iBab + Cb* + 2 Da + iEb + F, a et b désignant les coordonnées du centre. Mais les quantités a et b satisfont aux équations (5) ; si l'on multiplie les deux membres de chacune d'elles respectivement par a et b et que Ton ajoute, il vient
Aa* + uBab -f Cb" -f Da -f Eb = o,
d'où
Aa2 + zBab + Cb2=: — (Da + Eô),
et, par suite,
H = Da + Eô + F,
et en remplaçant a et b par leurs valeurs (6)
Lorsque le discriminant A est nul, l'équation se réduit à
(9) kx'*-\-iBx'y' + Cy,% = oi d'où
(10) y' = > y- xf.
Si la quantité B2 — AG est négative, l'équation n'admet qu'une solution réelle x' = o1y,==o. Si elle est positive, l'équation représente deux droites passant par l'origine. Dans ce cas, l'équation (7), dans laquelle on attribue à la constante H une valeur quelconque, définit une hyperbole; nous avons vu (n° 117) que les asymptotes d'une hyperbole passent par son centre, et que leurs coefficients angulaires sont donnés par la formule
dz-B y/B2 — AC
ces asymptotes ne sont autre chose que les droites représentées par l'équation (10) ou par l'équation (9). Ainsi, quand une équation du second degré représente une hyperbole rapportée à son centre, on obtient l'équation des asymptotes en supprimant le terme constant dans l'équation proposée.
On conclut de là que, si l'équation générale du second degré
f(x,y) = Ax2 + *Bxy + Gy2 + 2ÏÏX + 2Ey + F = 0 représente une hyperbole, l'équation
(11) ffa y)—j=o
représente l'ensemble des deux asymptotes. En effet si Ton porte l'origine au centre de la courbe, f(x, y) devient
donc l'équation (11) devient
Ax'2 + 2Bx,y' + Cy'2=o1 ce qui est l'équation des asymptotes.
DIAMÈTRES
131. Si l'on coupe une courbe du second degré par une série de droites parallèles, le lieu des points milieux I des cordes MM', terminées aux deux points de rencontre, est un diamètre de la courbe. Soit m le coefficient *ig, 79- angulaire des cordes, et
(!) ffa y) — Ax" + 2Bxy + Gy2 + <&x + 2Ey + F = o
l'équation de la courbe. Si l'on transporte les axes parallèlement à eux-mêmes en un point arbitraire I du plan, ayant pour coordonnées a et b, l'équation de la courbe devient (n°i 28)
Menons actuellement par ce point I une parallèle MM' à la
direction donnée, l'équation de cette parallèle esty = m#'. L'élimination de y' entre cette équation et celle de la courba conduit à Péquation du second degré
(n) [k+2Bm+Cm*]x'*+[f-(a,b)+f;(a, b)m]af+f{at b) = o,
qui donne les abscisses des points de rencontre. Lorsque la valeur attribuée à m n'annule pas le trinôme A + iBm + Cm2, coefficient de x2, chacune des sécantes rencontre la courbe en deux points ; si Ton suppose que l'origine I soit placée au milieu de la corde MM' (fig. 79), l'équation (11) ayant ses racines égales et de signes contraires, on aura la relation
(12) /«(M) + WÏ(M) = o;
cette équation, devant être satisfaite par les coordonnées du
point milieu de Tune quelconque des cordes considérées, est
l'équation du lieu. Si l'on y remplace a et b par x et y, elle
devient
(i3) fa(x,y) + mfy(x>y) = <>>
ou
(14) (Aa? + By + D)+ro(Ba? + Cy + E) = o.
Cette équation étant du premier degré, on en conclut que le diamètre qui correspond à une série quelconque de cordes parallèles est une droite DD\ Appelons m' le coefficient angulaire du diamètre ; nous aurons la relation
, A + Bm
(l5) m=-BTc^'
OU
(16) Cmm' + B(m -f m') -f A = 0.
132. Remarque i. — Les valeurs de x et y qui satisfont aux équations simultanées
Ax + By + D=z0, Bx + Gy+E = oy
vérifient l'équation (14), quelle que soit la valeur de m ; donc, si le lieu a un centre unique, tous les diamètres passent par le centre, et, s'il en a une infinité, tous les diamètres se confondent avec le lieu des centres.
Les deux équations, qui déterminent le centre, représentent deux diamètres ; le premier correspond aux cordes parallèles à Taxe des x, le second aux cordes parallèles à Taxe des y. On les obtient en faisant m =o ou m = oo.
133. Remarque ii. — Lorsque la courbe est une ellipse, le trinôme A+^Bm-j-Cm2, ayant ses racines imaginaires, est toujours différent de zéro ; à toute direction des cordes correspond un diamètre défini par l'équation (14).
Cette équation (14), si Ton y considère m comme un paramètre arbitraire, représente toutes les droites qui passent par le centre ; on en conclut que toute droite passant par le centre est un diamètre.
Remarque m. — Dans le cas de l'hyperbole, le trinôme A -[- 2Bm -f Cm2 s'annule pour deux valeurs réelles de m, qui sont précisément les coefficients angulaires des asymptotes. Si Ton, attribue à m l'une de ces valeurs, l'équation (11) s'abaissant au premier degré* chacune des sécantes ne rencontre la courbe qu'en un point. Si, en outre, les coordonnées a et à du point I, par lequel on mène la sécante, vérifient la relation (12), Féquation (11), ayant ses deux premiers coefficients nuls, n'admet plus de solution ; la droite représentée par l'équation (14) est alors le lieu des points I tels que les parallèles menées par chacun de ses points à la direction donnée ne rencontrent pas la courbe; mais, en vertu de la relation (16), la valeur de m' étant égale à m , toutes ces parallèles se confondent avec la droite (14) elle-même. Comme cette droite passe par le centre, c'est Tune des asymptotes.
L'équation (14), si l'on y considère m comme un paramètre arbitraire, représentant toutes les droites qui passent par le centre, on en conclut que toutes ces droites, excepté les deux asymptotes, sont des diamètres.
