Remarque iv. — Dans le cas de la parabole, on a

AC — B2 = o, ou ^ = ^ ; il en résulte que la valeur de m' Jb> G

donnée par l'équation (i5), est indépendante detn et égale à

GÉOM. ANALYT. 10

— -; ainsi tous les diamètres de la parabole sont parallèles

entre eux.

Le trinôme A-(-2Bm-{-Cm2 a ses deux racines égales à

— -- coefficient angulaire des diamètres. Si Ton mène des

sécantes parallèles à cette direction, chacune d elles ne coupera la courbe qu'en un point. D'autre part, quand on attribue

à m la valeur— — , les coefficients de a? et y dans l'équation (14)

deviennent nuls et l'équation cesse de représenter une droite. L'équation (14), dans laquelle on regarde m comme un paramètre arbitraire, représente toutes les droites parallèles à la

direction — — ; on en conclut que toute droite parallèle à cette

direction est un diamètre de la parabole. Lorsqu'on a en même temps AG — B2 = 0 et BE — CD = o,

ou -- = ■— = —, le lieu du second degré se compose de deux B > \j ht

droites parallèles; si l'on appelle — m' la valeur commune des

rapports précédents, on a

kx + By + D = — m'(hx + Cy -f E),

et 1 équation (14) se réduit à

(m rrï) {Bx + Cy + D) = o.

Ainsi, dans ce cas, tous les diamètres coïncident.

DIAMÈTRES CONJUGUES.

133. Supposons AC — B* différent de zéro. Les deux coefficients m et m' sont liés par la relation

(16) Cfwro'-fB(ro + m') + A = o.

Imaginons que l'on mené des sécantes telles que MM' parallèles au diamètre DD' (fig. 79); soit m" le coefficient angulaire du diaiiiérre EE'. qui divise ces cordes en deux parties égales, on aura dn même, entre la direction m' des cordes et la direction m" du diamètre correspondant EE', la relation

On' m" -}- B (m' -f- m") -f- A == o ;.

cette équation et la précédente étant du premier degré par rapport à m" et à m, on a m" = m. Les deux diamètres DD' et EE', dont les coefficients angulaires sont m' et m, jouissent de cette propriété que chacun d'eux divise en deux parties égales les cordes parallèles à l'autre; on les a nommés, pour cette raison, diamètres conjugués.

L'ellipse et l'hyperbole ont une infinité de systèmes de diamètres conjugués. On peut prendre pour premier diamètre une droite quelconque menée par le centre, pourvu qu'elle ne se confonde pas avec l'une des asymptotes, si la courbe est une hyperbole.

136. Nous avons vu (n° i3o), que l'équation de la courbe, rapportée à des axes parallèles aux axes primitifs et menés par le centre, est

(17) kx* + zBxy + Cy2 -f H = o,

Si Ton prend pour nouveaux axes de coordonnées deux diamètres quelconques, et que Ton effectue la transformation à l'aide des formules (4) du n° 5i, le polynôme homogène et du second degré A#2 + 2B#y+Cy2 se transformant en un polynôme homogène et du second degré AV2 + zB'x'y' + Cy2, l'équation devient

av2 + 2B^y + cy2 + H == o.

Lorsque les deux diamètres sont conjugués, comme à chaque valeur de x' correspondent deux valeurs de y' égales et de signes contraires, le coefficient B' est nul, et l'éauation se réduit à la forme simple

(18) AV* + Cy2+H = o.

Dans le cas de la parabole, si l'on prend pour origine un point de la courbe, ce qui fait disparaître le terme constant, pour axe des x' le diamètre qui passe par ce point et pour axe des y' une parallèle aux cordes que le diamètre divise en deux parties égales, comme à chaque valeur de x' correspondent

deux valeurs de y' égales et de signes contraires, on doit avoir BV + E' = o, et par suite séparément B' = o, E' = o ; d'autre part, la courbe étant une parabole, la condition A'C — B'2 — o doit être sastifaite, ce qui exige A' = o ; ainsi l'équation se réduit à la forme simple

Cyf + aDV = o.

Remarquons que l'axe des y' coïncide avec la tangente à l'origine.