AXES

Fig. 80.

137. Lans les courbes du second degré, les diamètres perpendiculaires aux cordes qu'ils divisent en deux parties égales sont des axes de symétrie.

La parabole ayant tous ses diamètres parallèles, si Ton imagine une série de cordes MM' (fig. 80) perpendiculaires à la direction commune des diamètres, le diamètre AÂ', qui divise ces cordes en deux parties égales, sera un axe de la courbe et ce sera le seul. Le coefficient angulaire des diamètres est

— — ; donc, si les coordonnées sont rec-

tangulaires, l'axe de la courbe est le dia-

G mètre des cordes ayant pour coefficient angulaire - ; son équation (n° i3i) est

(20) B(A# + By + D) + C(Ba + Cy + E) = 0.

Dans le cas des coordonnées obliques, le coefficient angulaire

des cordes perpendiculaires à Taxe étant ^r , cette

droite est déterminée par l'équation

(Ao? + By + D)(B~Gcose)-|-(B^+;Gy+E)(G— Bcos6) = o.

L'équation de la parabole, rapportée à son axe AA' et à la tangente au sommet A5 est de la forme (19).

Fig.81.

Lorsque la courbe est une ellipse ou une hyperbole, à tout axe A A' (fig. 81) en correspond un second BB', formant avec le premier un système de diamètres conjugués, la question est ainsi ramenée à la recherche des diamètres conjugués perpendiculaires entre eux. Si les coordonnées sont rectangulaires, on obtient les coefficients angulaires des axes enjoignant à l'équation (16) la relation mm' = — 1. On en déduit m-f-wi'

— . — — — ; ainsi, m et m! sont les racines de l'équation du second degré.

(21) Bw2 + (A — C)w — B = o.

Si l'origine des coordonnées coïncide avec le centre, l'équation

(22) B?/2 + (A— C);ri/ — B#2 = o,

que l'on déduit de l'équation (21) en remplaçant u par-,

représente l'ensemble des deux axes.

Dans le cas des coordonnées obliques, les coefficients angulaires des axes sont les racines de l'équation

(23) (B — G cos 0) u2 + (A — G)u — (B — A cos ô) = 0.

L'équation de la courbe, rapportée à ces deux axes, est de la forme (18).

Soit u une racine de l'une des équations (21) ou (23) : l'équation de l'axe correspondant sera :

Donc, l'origine des coordonnées étant choisie d'une manière quelconque, on aura une équation du second degré représentant l'ensemble des axes en remplaçant, dans (21) ou (23),

u par — -~ ce qui donne dans le cas des axes rectangulaires

(éq. 21) (*4)

BW-m-fr-Qf:r, = o

137 où. Reconnaître la. position d'un potnt par rapport A UNE CONIQUE. Soit

f(x, y) = Ax* + zBxy + Cy* + %Dx + iEy + F

le premier membre de l'équation d'une conique. Si Ton déplace dans le plan le point M (x9y) d'une manière continue en lui faisant suivre un chemin quelconque, la fonction f(x, y) varie d'une manière continue et ne peut changer de signe que si elle s'annule, c'est-à-dire si le point M traverse la courbe. Le signe de f(x,y) est donc le même en tous les points du plan situés d'un même côté de la courbe; d'ailleurs, ce signe change effectivement quand le point M traverse une branche simple de la courbe. En effet, soit y = mx-\-h, l'équation d'une sécante M'M" coupant la courbe en deux points réels distincts M'M", d'abcisses x' et x"; déplaçons le point M sur cette sécante, nous aurons

f(x,y) = f(x,mx + h);

la fonction f(x,mx-\-h) est un trinôme du second degré en x ayant pour racines x' et x". Ce trinôme a un certain signe quand x est extérieur à l'intervalle x'x" et le signe contraire quand x est dans cet intervalle. Donc, quand le point M se déplace sur la droite indéfinie M'M", la fonction f(x,mx-\~h) ou son égale f(x,y) a un certain signe tant que le point M est extérieur au segment M'M'7 et le signe contraire lorsque le point est sur ce segment. Le signe de f(x,y) change donc quand le point M traverse la courbe sur une sécante.

D'après cela, il suffit de connaître le signe de f(x,y) en un point du plan non situé sur la courbe, pour connaître ce signe partout. Prenons par exemple la fonction

f{x,y) = x* + xy + y* — *x + y qui, égalée à zéro, représente une ellipse réelle. Si on prend un point M(#,|/) placé très loin, il sera extérieur à la courbe; prenons-le par exemple sur l'axe Oy (x = o,y très grand) : alors f(x,y) qui se réduit à un trinôme en y est manifestement

positif. Donc, dans cet exemple, f(x,y) est positif en dehors de l'ellipse et par suite négatif à l'intérieur. On reconnaîtra immédiatement la position d'un point (x,y) par rapport à la courbe en regardant le signe de f(x,y).

Revenons au cas général et cherchons adonner des règles simples suivant les différents cas.

i° Si l'équation f(x, y) = o représente une ellipse imaginaire, ou une ellipse point, ou deux droites parallèles imaginaires, ou deux droites confondues, la fonction f(x,y) a le même signe en tous les points du plan ; car, dans les trois premières hypothèses, elle ne s'annule qu'en un point au plus et, dans la dernière (droites confondues), la fonction f{x,y) est un ca»;ré parfait.

2° Si f(x, y) = o représente une ellipse réelle ou une hyperbole, on convient d'appeler intérieur de la courbe la région du plan qui contient le centre; extérieur, le reste du plan. Les signes de f(x,y) sont différents à l'intérieur et à l'extérieur. Soient a et b les coordonnées du centre, la fonction f(x,y) prend au centre la valeur (n° i3o)

f AG — B2

le signe de cette quantité donne donc le signe de f(x,y) à l'intérieur de la conique; le signe sera contraire à l'extérieur.

3° Si f(x,y) = o représente une parabole ou deux droites parallèles réelles, l'intérieur de la courbe est la région qui contient le foyer de la parallèle ou la région comprise entre les deux droites. On obtient immédiatement le signe de f(x.y) à l'extérieur de la courbe en prenant le signe de f(x,y) en un point à l'infini dans une direction non parallèle à la direction de Taxe ou à celle des deux droites. Cette direction exceptionnelle s'obtient en égalant à zéro l'ensemble des termes du deuxième degré Ax2 -f- o.Bxy -|- Cy8 qui est un carré parfait dans le cas actuel. Gomme l'un au moins des deux axes

coordonnés n'est pas parallèle à cette direction exceptionnelle, il suffira de prendre le signe de f à l'infini sur cet axe coordonné, c'est-à-dire le signe de celui des coefficients A ou C qui n'est pas nul.

4° Si la courbe f(x, y) = o est composée de deux droites qui se coupent, le signe de f(x, y) est le même dans les angles opposés par le sommet; les signes de f(oo,y) sont contraires dans les anglesadjacents.

Itéduction de l'équation du second degré.

138. Pour étudier avec plus de facilité les propriétés d'une courbe du second degré, il importe de simplifier autant que possible son équation, en la rapportant à des axes de coordonnées convenablement choisis. Nous avons vu, dans le chapitre précédent, que l'équation du second degré peut toujours être ramenée à Tune des deux formes

(a)A#2 + Cy2 + R = o, (p)C2/8 + 2D#=o.

Quand la courbe est une ellipse ou une hyperbole, on ramène son équation à la forme (a), en prenant pour axes des coordonnées un système de deux diamètres conjugués quelconques ; généralement, les coordonnées seront obliques ; elles seront rectangulaires, si Ton rapporte la courbe à ses axes. Quand la courbe est une parabole, on ramène son équation à la forme ((*), en prenant pour axe des x un diamètre quelconque, et pour axe des y la tangente à l'extrémité de ce diamètre; si Ton veut que ces coordonnées soient rectangulaires, on prendra pour axe des x Taxe de la courbe.

C'est à l'aide de ces deux formes d'équations, en coordonnées rectangulaires, que nous démontrerons la plupart des propriétés des courbes du second degré. Nous allons expliquer la marche à suivre pour effectuer la réduction de l'équation. Soit

(i) kx* + aBay + Cy2 + 2ÏÏX+ 2Ey + F = o

une équation du second degré donnée et rapportée à des axes rectangulaires ; s'ils ne Tétaient pas, on les rendrait tels préalablement par une première transformation. En conservant l'axe des x et en prenant pour axe des y la perpendiculaire

élevée à cette droite par l'origine, les formules de transformation sont

, cosô sin 6

sinô'