ELLIPSE ET HYPERBOLE

139. Examinons d'abord le cas où la quantité AC — R2 est différente de zéro; la courbe admet un centre unique, dont les coordonnées a et b sont données par les formules (n° 129).

transportons les axes parallèlement à eux-mêmes au centre C

(flg. 82) ; nous savons que les termes du second degré ne changent pas, que ceux du premier degré disparaissent, et que le terme constant H de l'a nouvelle équation est donné par la formule

- . L'équation de la courbe, par

Fig. 85. ce changement de coordonnées,

se simplifie et devient

(») Ax* + 2Bxiyi + Cy\ + R = o.

Faisons maintenant tourner les axes des coordonnées, supposés rectangulaires, d'un angle a autour du centre C, pour les faire coïncider avec les axes de la courbe, les formules de transformation sont

xi = x( cos a — y' sin a , y , = x' sin a + y' cos a.

En substituant dans l'équation (2) on obtient la nouvelle équation

(3) (A cos2a -j- G sin2a -f- 2B sin a cos a) x'%

+ (A sin2a + Gcos2a — 2Bsinacosa)y* -fa[(G— A)sinacosa -}-B(cos2a — sin2a)]#y-|- H = o,

On peut disposer de l'angle a de manière à annuler le coefficient du terme en x'y' ; pour cela, on posera

4) (G — A)sin«cosa-{-B(cos2a — - sin2a) = o,

(5) Btang2* + (A — G) tanga — B = o.

Cette équation du second degré est la même que l'équation (2.1) n° 137, par laquelle on détermine les directions des axes delà courbe. Mais on peut résoudre l'équation (4) plus simplement en la mettant sous la forme

(C — A)sin2a + 2BcOS2a = 0,

d'où

(W tang2a = £— £.

Si l'on exclut le cas du cercle, où l'on a à la fois B = o, et A = G, l'équation (6) donne pour 2a une valeur positive <o moindre que w, et les diverses valeurs de l'angle 20c qui satisfont à cette équation sont comprises dans la formule

où k désigne un nombre entier quelconque positif ou négatif, on en déduit