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Les diverses valeurs de a ne donnent que quatre directions différentes pour l'axe CX'; ces quatre directions sont opposées deux à deux et forment deux droites rectangulaires. Nous

prendrons pour a la valeur-, qui est toujours positive et inférieure à- •

£40. Le terme en x'xj disparaît dans l'équation (3) ; il -este à calculer les coefficients des termes en x'2 et en y'2. Si l'on pose

A' = Acos*a + Gsin2a + 2Bsinacosa,

G' = A sin2a + Gcos2a — - 2Bsinacosa,

on a

(7) J A' — G' = (A — G) (cos2a — sin2a) + 4Bsinacos* ( = (A — G) cos 2a + 2B sin 2a.

L'équation (6) donne

Sin 2a = -========== , COS 2a =

zh\/4B2 + (A-G)2 ' ' ±v/4B2 + (A— G)2'

il en résulte

On calculera donc les deux coefficients A' et G' à l'aide de& formules

(8) U'-C' = Rf

en posant,

Nous avons choisi la valeur de 2a positive et inférieure à « ; sin 2a ayant une valeur positive, il faudra mettre devant le radical le signe de B. De cette manière, l'équation de la courbe est ramenée à la forme simple

(9) av + cy ■ + H = o.

Elle représente une ellipse ou une hyperbole, suivant que les deux coefficients A' et C' ont le même signe ou des signes contraires.

Des .formules précédentes (8) élevées au carré et retranchées, on déduit la relation

A'C' = AG — B1.' Les deux coefficients A' et G' de l'équation de la courbe rapportée à ses axes sont les racines de l'équation

(10) S8 — (A + C)S + (AC - B2) = o.

Les dimensions de la courbe définie par l'équation (9) dé-

pendent des deux paramètres — — , — — . Dans le cas de

l'ellispe, ces deux quotients, qui ont le même signe, sont positifs; si on les représente par a2 et £2, a et b seront les segments de CX' et CY' compris entre le centre et la courbe. Les longueurs 20, et 26 se nomment les axes de l'ellipse. Les quantités a2 et b% sont les racines de l'équation du second degré

(11) (AG — B>2 + (A + G) Eu -f H2 = 0,

que Ton obtient en remplaçant dans l'équation (10) S par .

H H Dans le cas de l'hyperbole, les deux quotients — -7. — — , ont

des signes différents; si on les représente par a2 et — £2, ou — a2 et i2, suivant les deux cas qui peuvent se présenter, ces deux quantités sont encore les racines de l'équation (11). Les quantités aa et ib se nomment les axes de l'hyperbole.