Quand AC — B2 = 0, les termes du second degré dans

l'équation proposée forment un carré parfait ; on a, en effet,

B2 en remplaçant A par sa valeur — ,

/ oB B2 \ / B \2

A*2 + 2B*y + Cy2 = Cjy2 + — xy+— *'J=C^ + -*J ,

et l'équation peut s'écrire

y + p x\ + aDa? + zEy 4- F = o.

Faisons d'abord tourner les axes des coordonnées autour de l'origine d'un angle a (fig. 83), à l'aide des formules de transformations

x = Xi cosot — yi sina, y = xv sinoc -(-y, cos<x ;

1 équation proposée devient

(12) C fcosa — — sinaWi + jsina + — cosajœj

+ 2(Dcosa + Esina)^1 + 2(Ecos« — Dsina)yi +F— 0.

(i5) tanga=— - , sina=-

On peut disposer de l'angle a de manière à annuler le coefficient de Xi ou de yt dans le polynôme qui est élevé au carré ; posons, par exemple,

Sina +77 COSa .= o G

l'équation (12) se simplifiera et prendra la forme (14) Cy\ + aD'a?i + <tà'yi + F = o.

On a

cosa — —sina] = Gfcosa 4- tanga sin a)2 = — — ,

G / COS2a

et, par suite, C'

A-f-C- Quant aux coefficients

D' et E' , on les obtiendra en remplaçant sin a et cos a par leurs valeurs, ce qui donne