BE - CD

Cette quantité se nomme le paramètre de la parabole.

142. Les coefficients des équations réduites peuvent se calculer facilement par l'emploi de certainesfonctions des coefficients et de l'angle des axes qui ne changent pas de valeurs quand on fait un changement d'axes quelconque. Pour former ces fonctions, reprenons les formules (4) du n° 5i

[ __ x' sin (9 — a) -f- ï/sift (9 — P)

^ ' 1 ^ sin a 4-^ sin ft

( ^~~ si u 6

qui servent à la transformation des coordonnées, quand on

change la direction des axes, en conservant la même origine;

ces formules expriment x et y par des fonctions homogènes

du premier degré en x' et y*. En remplaçant x et y par ces

valeurs dans le polynôme homogène du second degré

A^ + aBa^-f-Cy»,

le résultat sera un polynôme homogène du second degré en x' et y'

av2 + 2B'*y + cy*.

En particulier, le trinôme

x2 -{- 2#ycos8 -f- y*

se change en

x'2 + aafy' cos ô' + y'%

eT étant l'angle des nouveaux axes; car chacun de ces trinômes donne le carré de la distance de l'origine à un même point du plan.

Considérons le polynôme

A*2 + iBxy + Cy2 — S(x2 + ixy cosô + y2), ou, (17) (A — S)x* + a(B — Scosô)#y -f (C — S)y2,

dans lequel la lettre S désigne une constante arbitraire ; il donnera évidemment naissance au polynôme transformé

A V1 + aBVy' + C'y' 2 — S [x" + ix'y' cos ô' + y'2), ou, (18) (A' — S)x/2 + 2(B'-Scosô>'y' + {G — S)y'2.

Remarquons maintenant que les valeurs de S pour lesquelles l'un des polynômes est le carré d'une fonction entière du premier degré des variables dont il dépend sont les mêmes. Supposons, par exemple, que pour une certaine valeur de S le premier polynôme prenne la forme (ax -j- &y)2, a et b étant des constantes; quand on remplace x et y par leurs valeurs (16), la fonction du premier degré ax -(- by se change en une fonction du premier degré a'x' + b'y' , et le second polynôme prend la forme (aV + %')2- Quand les polynômes sont des carrés, les équations que Ton obtient en égalant à zéro leurs racines représentent la même droite rapportée aux deux systèmes d'axes YOX , Y'OX'.

Les valeurs de S pour lesquelles le polynôme (17) est un carré sont les racines de l'équation du second degré

(A - S) (C - S) - (B - S cosô)2 = 0,

ou, (i9) S2 sin28 — (A. + G — aB cos 6) S + AG — B2 = o. Nous représenterons par 8t et S2 ces deux racines; de même, les valeurs de S pour lesquelles le polynôme (18) est un carré sont les racines de l'équation

(A/ — S) (G' - S) - (B' - S cos G? = o3 ou, (20) S2sin2ô' — (.V+C — aB'cosô,)S + A/C — -B'^o. Les deux équations (19) et (20) admettant les mêmes racines on a

A + G — 2Bcos6 A/+G/— aB'cosQ' , sin2ô ~ sin30'