I) ' AC-B^A'C7 — B

sin28 — sin'ô' Donc les deux fonctions

A+C— aBcose AG— B»

sin2Q ' sin26

des coefficients de l'équation d'une conique et de l'angle des axes, conservent les mêmes valeurs quand on fait une transformation de coordonnées.

La quantité -t-jz possède la même propriété. En effet, supposons f différent de zéro ; alors en transportant l'origine des coordonnées au centre de la conique, on a une équation dont

le terme constant Ha pour valeur (n° 130) H = - • Gomme ce

terme constant reste le même quels que soient l'orientation et

l'angle des axes et que . 0 reste constant quand on fait un 0 ^ sin2ô ^

changement d'axes, il en est de même de , ■ • Ainsi, la & sin2ô

conique étant rapportée à des axes xOy qui font un angle 0,

si on la rapporte à de nouveaux axes x'O'y1 faisant un angle

6' et si l'on appelle

A V2 + iB'x'y' + Cy 2 + 2D V -f 2EY + "F = o,

la nouvelle équation et A' = A' (C'F' — E/2) + ... la nouvelle

valeur de A, on a

GÉOM. ANALYT. H

m LIVRE III, CHAPITRE III.

sinsô' "" sin26*

Cette relation sera identique si Ton y remplace A', B', G', D', E', F7 parleurs expressions en fonction de A,B, G, D, E, F qui résultent des formules de transformation des coordonnées. Elle aura donc lieu quels que soient A, B, G, D, E, F, c'est-à-dire même dans le cas où f serait nul, quoique le raisonnement employé pour trouver cette relation ne puisse plus s'appliquer à ce cas.

Les trois quantités

(23) A+C— 2Bcos9 r A

sin2ô ' ' sin2G ' sin2G

sont homogènes par rapport aux coefficients A, B, C, D, E, F, la première est du premier degré, la deuxième du second, la troisième du troisième degré. Si donc on multiplie le premier membre de l'équation de la conique :

A^2 + iBxy + G?/2 + iDx + aEj/ + F = o par une constante K, c'est-à-dire si l'on remplace A, B, G..., par KA, KB, KG..., la première des trois quantités (23) est multipliée par K, la deuxième par K2, la troisième par K3. On en conclut qu'une combinaison des quantités (23) homogène et de degré zéro par rapport aux coefficients A, B, G..., ne change pas si l'on introduit ce facteur K. Telles sont par exemple les deux combinaisons

(24) fsin26 Asin4ô (A+G — 2BCOSÔ)2 ' (A + G — 2Bcosâ)3

obtenues en divisant la seconde et la troisième des quantités (23) respectivement par le carré et le cube de la première. On a ainsi deux quantités (24) qui ne changent pas quand on fait un changement d'axes et qu'on multiplie, ou divise, tous les coefficients par un même facteur.

La condition A = o exprime que la conique est réduite à deux droites ; la condition f= o, qu'elle est du genre parabole ; la condition A + C — 2B cos 0 == o, qu'elle est une hyperbole équilatère, c'est-à-dire une hyperbole dont les asymptotes sont rectangulaires. En effet appelons m' et m" les coefficients

angulaires des asymptotes; la condition de perpendiculaire est

(2 5) 1 -f- ( W + m") cos 0 -f- m' m" = o ;

d'ailleurs ces coefficients angulaires sont racines de l'équation

Cm2 + 2^m + A = o qui donne

valeurs qui substituées dans la relation (2 5) fournissent la condition indiquée.

143. La grandeur d'une ellipse ou d'une hyperbole dépend de deux nombres qui sont les longueurs des axes de ces courbes ; la grandeur d'une parabole dépend d'un seul nombre , le paramètre; enfin la grandeur d'une conique réduite à deux droites dépend d'un nombre qui est leur angle quand elles se coupent et leur plus courte distance quand elles sont parallèles. Nous nous proposons de calculer ces différentes quantités.

Soit

kx% + iBxy + Ctf + il)% + 2Ey -f F = o l'équation d'une courbe du second degré rapportée à des axes faisant un angle 6. Si l'on fait

£r==A + C — aBcosô ,f:=ÂC~B2 , A = A(CF — E2)+... les trois quantités

sin2ô ' sin20 ' sin2ô possèdent cette propriété que toute combinaison de ces trois quantités, homogène et de degré zéro par rapport aux coefficients A,B, G..., garde une valeur constante quand on change les axes coordonnés et qu'on multiplie ou divise tous les coefficients de l'équation de la courbe par un même facteur, <îomme nous venons de le montrer.

Supposons d'abord que la courbe du second ordre soit une «ellipse ou une hyperbole : en la rapportant à son centre et à «es axes on mettra son équation sous la forme

aa,a + py2 — o$ = o où dans le cas de l'ellipse réelle a = #2, p =r«2, dans celui de l'hyperbole a = i2-, p— — a2, dans celui de l'ellipse imaginaire a = — 62, p = — a2. Nous dirons, dans les trois cas, que a et fi sont les carrés des longueurs des axes. Les deux combinaisons eA Aasin2ô

(a) p * —fs

des quantités (i) étant homogènes et de degré zéro par rapport aux coefficients, garderont la même valeur si on le& forme pour l'équation réduite. Or, pour l'équation réduite»

Ôrrr-, £ = «-}- p, f=ap, A= — a2p2; donc sA , , AN A2sin20

et a et p sont racines de l'équation du second degré

, , sA , A2sin2Ô

(3) P2+Pw +

qu'on appelle équation aux carrés des axes. D'après la nature de la question, cette équation doit avoir ses racines réelles :

i - •« p -i + i r+-e2A2 4A2sin2ô „ on le vérifie facilement, caria quantité -^ — s écrit

^(£2~4fsin26) = ^r(A--G)2sin2ô + [(A + G)cose-~2B]2l

quantité essentiellement positive. Les racines seront égales lorsque

A = C , B = AcosQ; la courbe est alors un cercle. Les racines sont égales et de signes contraires quand s = o, la courbe est alors une hyper* bole équilatère.

Supposons maintenant que la courbe du second ordre soit une parabole; en la rapportant à son axe et à la tangente au sommet, on mettra son équation sous la forme réduite

y* — o,px = o; quelle est la valeur du paramètre pf Des trois quantités (i)

la deuxième est nulle : Ton peut former une combinaison homogène, de degré zéro par rapport aux coefficients, des deux autres quantités (i) en divisant la dernière par le cube •de la première, ce qui donne

Asin49

Cette même quantité formée avec l'équation réduite est — p 2: on a donc

A sin* 0

équation qui donne p.

Si la conique considérée se réduit à un système de deux droites qui se coupent, son équation peut se ramener àla forme

alors A = o, et Ton a, en formant la quantité „ . , pour

l'équation réduite,

e2 __ (i + m)2 m fsin2ô~~ m '

d'où l'on tire pour m deux valeurs inverses l'une de l'autre. Si f est négatif les deux droites sont réelles et les valeurs de m sont négatives : appelant alors ® l'angle des deux droites on aura

m=„tang2?et-f^re = 4cotg2cP

équation qui donne cp.

Enfin supposons la courbe réduite à deux droites parallèles et calculons la distance de ces droites. Dans ce cas, des trois quantités (i), deux f et A sont nulles : les combinaisons pré • cédentes de ces trois quantités ne peuventplusêtre employées. On considérera ce cas comme un cas limite du cas des courbes à centre unique et cela de la façon suivante. Soit

Ax* + zBxy + Ctf + iDx + aEy + P = c

une conique réduite à deux droites parallèles, comme A. et G ne peuvent pas être nuls à la fois, à cause de la condition f = o, supposons C différent de zéro et considérons la courbe auxiliaire

qui dépend du paramètre X. Dans cette courbe on a

ei==A + C + X— aBcosô , f1=(A + X)G— B2