CHAPITRE IV

ï>e l'Ellipse*

145. Proposons-nous de construire la courbe représentée par l'équation

Mx*+G'y* + JI=o,

dans laquelle les deux cofficients A' et G' ont le même signe.

Lorsque la constante H est égale à zéro, l'équation n'étant satisfaite que par x=o, y=o, représente un seul point, l'origine des coordonnées.

Quand les deux coefficients A et .C ont le même signe que H, l'équation, ne pouvant être satisfaite par des valeurs réelles de x et yy ne représente aucun lieu géométrique.

Considérons enfin le cas où ces deux coefficients ont un signe contraire à celui de H, et posons

a2 — — ji--JL

l'équation devient

En la résolvant par rapport à y, on en déduit

L'ordonnée y n'est réelle que pour les valeurs de # comprises

entre — a et +fl, et elle est elle-même comprise entre — b et-\-b; si donc, à partir de l'origine, on porte sur l'axe des x, et de part et d'autre, deux longueurs OA, OA' égales à a, et sur l'axe des y deux longueurs OB, OB' égales à 6, la courbe 1Y' est située tout entière dans le

Fis- 85- rectangle CDEF construit sur

les deux droites AA', BB' (fi g. 85).

Quand x croît de o à a, y décroît en valeur absolue de b à o, ce qui, à cause du double signe, donne les deux arcs égaux BMA, B'M'A. Il en est est de même quand x varie de o à — a, ce qui donne les deux arcs BM^', B'NA', égaux aux précédents. Ces quatre arcs égaux forment l'ellipse.

iîy^^

o pi j

J4G. La droite A'A est un axe de l'ellipse; car à chaque abscisse OP correspondent deux ordonnées PM, PM' égales et de signes contraires. La droite B'B est aussi un axe de l'ellipse ; car, si l'on résolvait l'équation par rapport à x, on verrait de même qu'à chaque ordonnée OQ correspondent deux abscisses QM, QMi égales et de signes contraires. Les points A, A', B, B', où les axes recontrent l'ellipse, sont les sommets de l'ellipse. Les longueurs A'A, B'B des deux axes sont respectivement égales à ia et à 2b.

L'ellipse devient un cercle, quand les axes sont égaux.

Il est aisé de voir que l'origine O est centre de l'ellipse ; en effet, soient x} y les coordonnées d'un point quelconque M de l'ellipse ; il est évident que l'équation (1) est aussi satisfaite par les valeurs — x9 — y; il existe, par conséquent, un second point N de l'ellipse qui a ses coordonnées — OP', — P'N respectivement égales aux coordonnées OP, PM du point M, mais de sens contraires ; les triangles OPM, OP'N sont égaux ; donc OM = ON ; et la ligne MON est droite à cause des angles égaux POM, P'ON. Ainsi les points M et N

de l'ellipse sont deux à deux symétriques par rapport au point 0 ; donc le point 0 est centre de l'ellipse.

147. Pour étudier comment varie la distance du centre aux différents points de l'ellipse, ou le rayon de l'ellipse, formons l'équation de l'ellipse en coordonnées polaires, en prenant le centre 0 pour pôle et l'axe OA de la courbe pour axe polaire. Si dans l'équation (i) on remplace x et y par p cos ta et p sin w, on a

i cos2w . sin2w

p2 a2 ' b2 Supposons a> b, et mettons l'équation sous la forme

sin'w.

Si Ton fait varier w de o à -, la quantité — croît, et, par

conséquent, p décroît constamment de a à b. Le maximum de p est a, le minimum b.

148. Désignons par x et y les coordonnées d'un point quelconque du plan et considérons le polynôme

Pour un point M situé sur l'ellipse (fig. 86), le polynôme est

égal à zéro. Imaginons qu'un point mobile P parte du point M et s'éloigne sur le prolongement du rayon OM ; les deux coordonnées x et y augmentant en valeur absolue, le polynôme va en croissant indéfiniment; il prend donc des valeurs positives de plus eu

plus grandes. Au contraire, si le point mobile se rapproche du

centre, le polynôme diminue et prend des valeurs négatives.

x2 y2 Ainsi le polynôme -y + j» — i reste négatif pour tous les

points situés à l'intérieur de l'ellipse, sur l'ellipse il est nul, et il devient positif pour tous les points situés en dehors de l'ellipse.

149. Les carrés des ordonnées perpendiculaires à l'un des axes de V ellipse sont proportionnels aux produits des segments correspondants formés sur cet axe.

En effet, si l'on désigne par x et y les coordonnées d'un point quelconque M de l'ellipse (fig. 85), on a, en vertu de

a* — xù a* (a — x)(a-\-x) a2

Mais les deux segments AP, AT de l'axe AA sont égaux respectivement à a — x et à a + x ; on a donc

MP2 b2 AP X AT — a2 ' Ainsi le carré de l'ordonnée est au produit des segments formés sur l'axe dans un rapport constant.

loO. Les ordonnées perpendiculaires au grand axe de V ellipse sont aux ordonnées correspondantes du cercle décrit sur cet axe comme diamètre dans le rapport constant du petit axe au grand axe.

Soit AA' le grand axe de l'ellipse (fig. 87) ; sur ce grand axe comme diamètre décrivons un cercle ; à l'ordonnée MP de l'ellipse correspond l'ordonnée M4P du cercle. L'équation (2) s'écrit

^fc^L x

//lif\

r Ja x

mais ya2~-x2 représente l'ordonnée MjP du cercle ; on a donc

MP b M^^V

Le petit axe jouit de la même propriété; l'ordonnée MQ,

Fis. 37.

perpendiculaire au petit axe, est à l'ordonnée correspondante M2Q du cercle décrit sur cet axe comme diamètre dans le rapport constant du grand axe au petit axe.

L'ellipse est la projection orthogonale d'un cercle. Imaginons que l'on fasse tourner le cercle ABtA' autour de Taxe AA'

cercle tournera autour du point P, tout en restant perpcridu cercle tournera autour du point P, tout en restant perpendiculaire à Taxe AA'; dans cette position, elle se projettera sur la droite PM; pour avoir la longueur de la projection, il

suffit de multiplier la longueur PMj par cos 9 ou par-? ce qm

donne l'ordonnée PM de l'ellipse. Ainsi le point M4 du cercle a pour projection le point M de l'ellipse ; chacun des points du cercle se projetant ainsi au point correspondant de l'ellipse, il s'ensuit que l'ellipse est la projection du cercle.

On peut aussi considérer le cercle comme la projection orthogonale d'une ellipse. Imaginons que l'on fasse tourner

l'ellipse autour de l'axe BB' d'un angle <p ayant pour cosinus ->

l'ordonnée QM de l'ellipse aura pour projection l'ordonnée QM2 du cercle décrit sur BB' comme diamètre, et le petit cercle sera la projection de l'ellipse.

loi . Construction de l'ellipse par points. On déduit de ce qui précède un moyen très-simple de construire l'ellipse par points. Sur chacun des deux axes de l'ellipse comme diamètre on décrit un cercle (fîg. 87) ; du centre on trace un rayon quelconque qui coupe les deux cercles en Mx et M2 ; par le point M^ on mène une parallèle au petit axe, par le point M2 une parallèle au grand axe ; le point d'intersection M de ces deux droites appartient à l'ellipse. Après avoir déterminé de la sorte un nombre suffisant de points, on fait passer un trait continu par tous ces points, et l'ellipse est ainsi construite.

152. Construire les points d'intersection d'une ellipse et d'une droite. Il est utile de savoir déterminer les points où une

droite donnée MM' coupe une ellipse définie par ses deux axes

AA', BB' (flg. 88), sans quel'ellipse soit tracée. Ainsi que nous l'avons dit, l'ellipse peut être considérée comme la projection orthogonale du cercle ABiA', décrit sur le grand axe AA' comme diamètre, et que Fis- 88. l'on fait tourner autour de AA'

d'un angle <? ayant pour cosinus - Cherchons dans le plan du

cercle la droite M^, qui a pour projection MM' dans le plan de l'ellipse ; soit N un point quelconque de la droite MM' ; prolongeons la droite BN jusqu'à sa rencontre en H avec l'axe AA' ; la droite B^ se projette sur BH; par conséquent, le point N1? où elle coupe l'ordonnée QN, se projette en N. On obtiendrait de même un autre point quelconque de la droite TsliM\ ; mais il est plus simple de se servir du point S où la droite MM' rencontre l'axe ; la droite SNt a pour projection la droite donnée sur le plan de l'ellipse. Cette droite SN, coupe le cercle en deux points M lyM\; les ordonnées M4P, M'tP' détermineront sur la droite donnée les deux points M, M' où cette droite rencontre l'ellipse.

TANGENTE

153. Nous avons trouvé (n° 125) l'équation de la tangente à une courbe du second degré ; quand l'équation de l'ellipse est mise sous la forme simple

l'équation de la tangente au point M, ayant pour coordonnées x et y, devient

(4) + ^lï=0.

Le coefficient angulaire de la tangente a pour valeur ~— >

On voit qu'en A et A' la tangente est perpendiculaire à Taxe A'A, qu'en B et B' elle lui est parallèle, et que, quand le point de contact se meut sur l'ellipse de A en B, la tangente fait

avec A'A un ande obtus qui croît de - à tt.

La normale, étant perpendiculaire à la tangente, a pour équation