Mener une tangente par un point extérieur P. Dési

gnons par #, et yl les coordonnées du point P (flg. 90). Nous avons trouvé (n° 126) l'équation de la corde des contacts MM'. La détermination des points de contact revient donc à la résolution r- — des deux équations simultanées

'iiMi — *

En éliminant y, on obtient l'équation du second degré

a2 la2"1"^.

+i-fr = °.

dont les racines sont les abscisses des points de contact M et M'

des deux tangentes menées du point P. Cette équation, dans

laquelle on peut regarder - comme l'inconnue, aura ses ra-

cines réelles si la condition -~ + tt — 1 > 0 est satisfaite, c'est-

à-dire si le point P est en dehors de l'ellipse.

Il est facile de construire géométriquement les tangentes menées du point P, en considérant l'ellipse comme la projection du cercle ABtA' (flg. 91). Cherchons dans le plan du cercle le point Pj, qui a pour projection le point P dans le plan de l'ellipse. Traçons dans le plan de l'ellipse la droite PB, que nous

prolongeronsjusqu'à sa rencontre avec l'axe en H; la droite HBj, ayant pour projection HB, passera parle point Pj et déterminera ce point.

Du point Pj menons au cercle les tangentes PjMi, PjMVque nous prolongerons jusqu'à leur rencontre avec Taxe en T et T^les droites PT,PT^

Fig. 9i.

projections des tangentes au cercle, seront tangentes à l'ellipse, et les points de contact M et M' seront situés sur les ordonnées des points M1? M\. Pour que Ton puisse effectuer ces constructions, il n'est pas nécessaire que l'ellipse soit tracée. 156. Mener une tangente parallèle à une droite donnée. Soit y=mx l'équation de la droite donnée OL, que l'on peut supposer menée par le centre (flg. 92). Appelons x et y les coordonnées du point de contact M ; ce point étant sur l'ellipse, on a l'équation

le coefficient angulaire de la tangente devant être égal à m, on a la seconde équation

Fig. 92. a y

Ces deux équations simultanées déterminent les deux inconnues x et y ; la première représente l'ellipse proposée ; la seconde une droite MM' passant par le centre ; les points où cette droite rencontre l'ellipse sont les points de contact.

Il est facile de construire ces tangentes géométriquement. Cherchons d'abord dans le plan du cercle le diamètre OLj, qui apourprojectionOLsurle plan de l'ellipse; il suffit de joindre le point B à un point quelconque L de la droite OL et de prolonger la droite BL jusqu'à sa rencontre avec l'axe en H ; puis de tracer BtH et de prendre le point d'intersection Li de cette droite avec l'ordonnée du point L; le point L étant la projection du point LA, la droite OL est la projection de OL^ On mène au cercle des tangentes MtT,M{T' parallèles à 0Lt, et par les points T et T' où ces tangentes rencontrent l'axe, des parallèles TM, T'M' à la droite OL. On a les tangentes demandées; car les projections OL, TM des droites parallèles OLi, TMt sont elles-mêmes parallèles. Les points de contact M et M' sont déterminés par les ordonnées des points M, et M/.

GEOM. ANALYT.

it$7. On peut obtenir l'équation de la tangente à l'ellipse sous d'autres formes qu'il est bon de connaître.

Si Ton désigne par a l'angle que fait avec Taxe des x la perpendiculaire abaissée du centre sur la tangente et par p la longueur de cette perpendiculaire, la tangente sera représentée par l'équation (n° 83)

X cos a -f- Y sin a — p = o ; en identifiant avec l'équation (4), on a les relations

d'où

a COS a 6 Sin a p sJa2ZO$2«. + b2$m**

p = y a2 cos2 a -)- b2 sin2 a.

Ainsi la tangente aura pour équation

(6) X cos a -f- Y sin a == y a2 cos2 a -f- b2 sin2 a,

On peut encore trouver l'équation de la tangente en cherchant les points d'intersection de l'ellipse et d'une droite et exprimant que ces deux points coïncident, comme nous l'avons fait pour le cercle (n° 94). On obtient ainsi l'équation de la tangente sous la forme

(7) y = mx±ya2 m2 -f- b2.