Comme application, proposons-nous de trouver le
lieu du sommet d'un angle droit circonscrit à l'ellipse. Supposons que l'on veuille mener par un point extérieur P (flg. 90), ayant pour coordonnées x' et y', de& tangentes à l'ellipse ; la tangente devant passer par le point P, on aura l'équation de condition ij = mxr ± \/a2m2-\-b2, Fig. 93. dans laquelle le coefficient angu-
laire m est l'inconnue. Cette équation, mise sous forme entière
est du second degré; ses deux racines donnent les directions des deux tangentes menées du point P à l'ellipse, et, par conséquent, déterminent ces tangentes. Les deux tangentes menées par le point P seront rectangulaires, si le produit des deux valeurs de m est égal à — 1, ce qui exige que les coordonnées du point P vérifient la relation
ou
rf* + yf*=-'a* + b*.
Ainsi le lieu du sommet d'un angle droit circonscrit à l'ellipse est le cercle circonscrit au rectangle construit sur les axes.
DIAMETRES.
159. Nous avons trouvé (n° i3i) l'équation générale des diamètres dans les courbes du second degré. En représentant par/*(^, y) =o l'équation de la courbe, et par m le coefficient angulaire des cordes parallèles MM' (fig. 94), nous avons vu que l'équation du diamètre DD' se met sous la forme
fœ+mf'y = °-
L'ellipse étant rapportée à ses axes, l'équation du diamètre se réduit à
2,x imy
ou y--
Si Ton désigne par m' le coefficient angulaire du diamètre
DD', on a, entre la direction des cordes et celle du diamètre,
la relation
è2 (8) mm = £-•
Nous avons vu aussi que si Ton mène des cordes MM" parai lèles au diamètre DD', le diamètre OE, qui divise ces cordes en deux parties égales, a pour coefficient angulaire m\ les deux diamètres DD', EE' forment un système de diamètres conjugués, et leurs coefficients angulaires m' et m sont liés par là relation (8).
Cette relation montre que les deux coefficients angulaires m et m sont de signes contraires, et, par conséquent, que les deux demi-diamètres conjugués OD et OE, situés d'un même côté du grand axe, sont placés de part et d'autre du petit axe; si le premier part de la position OA et tourne de OÀ vers OB, le second part de la position OB et tourne de OB vers OA'.
160. La tangente en un point quelconque D de l'ellipse est parallèle au diamètre EE' conjugué du diamètre DD' qui passe au point de contact. En effet, si l'on appelle x et y les coordonnées du point D, le diamètre OD a pour coefficient
-; le coefficient angulaire de la tangente au
angulaire m = point D est m' lation mm' = —
■ 7T ; ces deux coefficients vérifient la re-
On se rend bien compte de cette propriété en imaginant que
la sécante MM' se meuve parallèlement au diamètre EE', et
s'éloigne du centre ; les deux points d'intersection M et M' se
rapprochent de plus en plus du milieu de la corde, et finissent
par se confondre en D; alors la sécante devient tangente au
point D.
