Les propriétés dés diamètres conjugués se montrent

immédiatement , quand on considère l'ellipse comme la projection d'un cercle. Deux diamètres rectangulaires ODi, OEi (fig. g5), dans le plan du cercle, forment un système de diamètres conjugués; car chacun d'eux divise en deux parties égales les cordes parallèles à l'autre; les cordes parallèles se projettent sur le plan de l'ellipse suivant des cordes parallèles; le milieu d'une corde a pour projection le milieu de la projection de la corde; chacun des diamètres OD , OE, projections des premiers, divise donc en deux parties égales lescordes parallèles à l'autre ; ce sont deux diamètres couju* gués de l'ellipse.

Fig. 95.

On. .en déduit facilement la relation qui existe entre les coefficients angulaires m et m de deux diamètres conjugués. Si Ton appelle ml et m^les coefficients angulaires des deux diamètres conjugués ODj jOEi du cercle, on a m—-mi 9m,=-mi;

d'où mm'— — m^rri^ puisque les diamètres conjugués du cercle

sont rectangulaires, on a m^ — — 1; il en résulte m?tt'= -•

Quand on donne un diamètre OD, on peut trouver le conjugué OE, sans que l'ellipse soit tracée. On construira le diamètre ODi qui a pour projection OD; on mènera le diamètre OEi perpendiculaire à OD, et on projettera OEt ; la projection

OE sera le diamètre demandé.

1G2. Ellipse rapportée à deux diamètres conjugués. D'après ce qui a été dit au n° i36, lorsqu'on prend pour axes des coordonnées deux diamètres conjugués OD,OE(fig. 96), \, Féquation de l'ellipse devient

AV2+cy2+H=o.

Les coefficients A" et C" ayant un même signe, contraire à celui de H, si l'on Fig. 96. pose

l'équation se met sous la forme

qui est la même que celle de la courbe rapportée à ses axes. Il en résulte que les calculs effectués pour démontrer les propriétés de l'ellipse, au moyen de l'équation de la courbe rapportée à ses axes, et dans lesquels on n'a pas supposé les coordonnées orthogonales, pourront être répétés avec Féqua-

tion de la courbe rapportée à un système de diamètres conjugués. Ainsi, l'ellipse étant rapportée au système des diamètres conjugués OD et OE, la tangente aura pour équation

Mais l'équation de la normale ne conserverait pas la forme qui correspond aux axes OA et OB.