THÉORÈMES D'APOLLONIUS
163. On démontre aisément les théorèmes d'Apollonius par la méthode du n° i42. Imaginons l'ellipse rapportée successivement à ses deux axes et à un système de diamètres conjugués faisant entre eux un angle ô. Par les formules de transformation des coordonnées, le binôme
se change en
De même, le binôme
devient
#'2 + y2 + 2#yeos9,
puisque chacune de ces deux expressions représente le carré
de la distance de l'origine à un même point du plan. Il résulte
de là que le polynôme
dans lequel X désigne une constante arbitraire, se transforme en
ou
Les valeurs de X pour lesquelles l'un des polynômes (10) ou (11) devient un carré parfait, étant les mêmes, les deux, équations
OU
et
cos2ô
Va'2 X/ U'2 X7
ou
( i3) X2 — (a'2 + b'2)\ -|- a'2b'2 sin2 6 = o5
ont les mêmes racines. Il résulte de là que les deux racines de l'équation (1 3) sont égales respectivement à a2 et à b2; on en déduit les deux relations
(14) a'*+V*=di+b\
(i5) a'2b/2$m2Q=a2b29 ou a'b'smQ = ab.
On obtient ainsi les deux théorèmes suivants :
i° La somme des cannés de deux diamètres conjugués quel' conques d'une ellipse est constante et égale à la somme des carrés des axes;
20 Laire du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués est constante et égale à celle du rectangle construit sur les axes.
Les relations (21) du n° 142 donnent immédiatement les deux équations (14) et (i5).
1G4. On peut démontrer facilement ces théorèmes en considérant l'ellipse comme la projection d'un cercle. Deux diamètres conjugués OD, OE de l'ellipse sont les
prqjections de deux diamètres rectangulaires OT>i , OE4 du cercfe (flg. 95). Les angles DtOP , E,OQ étant complémentaires, les triangles rectangles D,OP , E4OQ sont égaux, et l'on a
OQ. = D,P ; mais ÔD4' = OP* + D^P* ;
il en résulte
ÔP2+ÔQ2==a2.
Les longueurs OP et OQ étant les projections des deux demi-diamètres conjugués OD et OE sur le grand axe de l'ellipse, la somme des carrés de ces deux projections est constante, et Ton a
a/2cosa-f-#/2 cos2p=a2,
en désignant par a et p les angles que font avec l'axe OA les demi-diamètres OD et OE.
Il en est de même pour l'autre axe ; les projections des deux demi-diamètres conjugués sur le petit axe sont égales aux ordonnées DP et EQ ; mais DP = - D4P, EQ = — E4Q, et, par suite,
DP' + ËQ^^D^ + Ê^');
les longueurs E4Q et OP étant égales, on a
D^2 + W = D^2 + ÔP2= a\ et, par suite,
DP'+ËqW,
ou
a/2sin2a + ô/2sin2pr=^.
En ajoutant membre à membre les deux relations précédentes, on obtient la relation
165. Pour démontrer la propriété relative à Faire du parallélogramme, nous nous servirons du théorème suivant :
Fig. 97.
La projection d'une aire plane sur un plan quelconque est égale à Vaire projetée multipliée par le cosinus de V angle des deux plans.
Considérons d'abord un triangle ABC (fi g. 97) ayant un côté AB parallèle au plan de projection; nous pouvons supposer que le plan de projection passe par ce côté AB ; du sommet C, abaissons sur ce plan une perpendiculaire CC, et, dans ce plan, menons CD perpendiculaire à AB; la droite CD sera aussi perpendiculaire à AB ef l'angle CDC mesurera l'angle dièdre cp des deux plans. Cela posé, on a
C'D = CDcos<p,
ABxC'D ABxCD
d ou = cos 9,
et, par suite, ACB = ACB X cos cp.
Ainsi l'aire du triangle ACB est égale à celle du triangle
ACB multipliée par cos 9.
Supposons maintenant que le triangle ABC (fig. 98) n'ait
aucun de ses côtés parallèle au plan de projection; nous pouvons faire passer ce plan par un sommet A, de telle sorte que les deux autres sommets soient d'un même côté ; le plan du triangle prolongé coupe le plan de projection suivant une droite AI, et la droite CB perce ce plan au point I ; les triangles AIC, AÏB se projettent suivant AIC, A1B', et Ton a, ^y d'après ce qui a été dit,
AIC'=AICxcos<p,
Fig'9S" ^ AIB, = AIBXcosç.
d'où, par soustraction,
AB/C/==ABCXcoscP.
Le théorème, étant démontré pour un triangle, s'étend a un polygone plan, que l'on peut toujours décomposer en
triangles, et même à une aire plane limitée par une courbe fermée quelconque; car on peut regarder cette aire plane comme la limite de Taire d'un polygone inscrit, dont on augmente'indéfiniment le nombre des côtés, de manière que chacun tende vers zéro.
Quand on considère l'ellipse comme la projection d'un cercle, le parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués est la projection d'un carré circonscrit au cercle; le carré ayant une aire constante égale ^a2, celle du parallélogramme est aussi constante et égale à (\a2 cos 9, c'est-à-dire k^ab.
166. Le même théorème nous donne immédiatement l'aire de l'ellipse. L'ellipse étant la projection d'un cercle, son aire est égale à celle du cercle na2, multipliée par cos <p ou par
-> ce qui donne izab.
DIAMÈTRES CONJUGUES EGAUX.
167 Nous avons vu (n° i59) que les deux demi-diamëtres conjugués OD , OE sont situés de part et d'autre du petit axe
OB (flg. 99). On sait que le rayon de l'ellipse est d'autant plus grandi qu'il s'écarte davantage du petit axe ; pour que les deux diamètres conjugués deviennent égaux, il faut donc que ces deux diamètres fas- Fig. 99. sent des angles égaux avec le petit
axe OB, ce qui exige que les angles a et p soient suppléât* b mentaires. On a donc tang2 a = — et, par suite, tang *=^; r ° a2 L ° a
ainsi les diamètres conjugués égaux OG et OH coïncident avec les diagonales du rectangle construit sur les axes.
De la relation a'2 + b'2 = a2 4- b\ on déduit a'2 =r — *— -, et
\H^\jT~
l'équation de l'ellipse, rapportée à ses diamètres conjugués égaux, est
oc2-f-y2 = — ! ;
elle a même forme que l'équation du cercle, seulement les
coordonnées sont obliques.
Cette équation signifie que la somme des carrés des distances de chacun des points de l'ellipse aux deux diamètres conjugués égaux est constante. En effet, soient 0 l'angle dea deux diamètres conjugués égaux, MP et MQ les coordonnées du point M (fig. îoo), ME et MF les perpendiculaires abaissées du point M sur ces diamètres, on a ME = y' sin 6, MF = x' sin 6 ; d'où
ME + MF" = (x"2 + y'2) sin2 G :
{a2 + b2) sin2 0
2fl262
CORDES SUPPLEMENTAIRES.
168. On appelle cordes supplémentaires dans l'ellipse deux cordes MG, MC, qui, partant d'un même point de l'ellipse, aboutissent aux extrémités d'un diamètre CC (fig. 101).
Deux cordes supplémentaires sont parallèles à deux diamètres conjugués.
Menons, en effet, les diamètres OD et OE parallèles aux cordes supplémentaires MC, MC. Dans le triangle CMC, la droite OD parallèle à CM divise en parties proportionnelles les deux côtés CC et CM ; le centre 0 étant le milieu de CC', il en résulte que le diamètre OD divise en deux parties égales la corde CM, et, par suite, toutes les cordes parallèles au diamètre OE, De même, le diamètre OE divise en deux parties égales la corde CM, et, par suite, toutes les cordes parallèles à OD. Donc les
Fig. 101.
deux diamètres OD , OE, parallèles aux cordes supplémentaires MC, MC, sont conjugués.
Réciproquement, si par les extrémités d'un diamètre CC on mène des droites parallèles à deux diamètres conjugués OD , OE, ces droites se couperont sur l'ellipse. En effet, soit M le point où la corde CM, parallèle à OE, rencontre l'ellipse; joignons CM; les cordes supplémentaires MC, MC étant parallèles à deux diamètres conjugués, la seconde corde CM sera parallèle à OD.
169. L'étude de la variation de l'angle de deux diamètres conjugués est ainsi ramenée à l'étude de la variation de l'angle de deux cordes supplémentaires, c'est-à-dire de l'angle inscrit dans une demi-ellipse. Pour simplifier le calcul, on supposera
les deux cordes supplémentaires menées par les extrémités du grand axe (fig. 102). L'angle AMA', que nous appellerons ô, est égal à la différence des deux angles MAX , MA'X ; les deux droites AM , A'M ayant pour
Fig. 10
coefficients angulaires
on a
tan g 0
iay
x' — cr
et, en remplaçant x2 par sa valeur tirée de l'équation de l'ellipse,
iab2
Si le point M décrit la moitié supérieure ABA' de l'ellipse, la tangente étant négative, l'angle 6 est obtus; quand le point M est au point A, c'est-à-dire quand y = o, l'angle est droit; le point M marchant de A vers B, y augmente; la valeur absolue de tang 6 diminuant, l'angle obtus 9 augmente aussi et acquiert sa valeur maximum au point B ; alors on a y=à et
tang 9 = — ; quand le point M dépasse le point B et
parcourt le quart d'ellipse BA', l'angle 0 diminue de sa valeur maximum jusqu'à un angle droit.
Il résulte de là que l'angle des demi-diamètres conjugués OD , OE, situés d'un même côté du grand axe, est obtus et varie depuis un angle droit jusqu'à la valeur maximum ABA'; les diamètres conjugués, qui comprennent l'angle maximum, étant respectivement parallèles aux cordes supplémentaires A'B , AB, et, par suite, également inclinés de part et d'autre sur le petit axe OB, sont égaux.
Nous avons étudié la variation de l'angle obtus DOE de deux diamètres conjugués, l'angle aigu DOE' varie en sens inverse. On obtient directement cet angle en menant les cordes supplémentaires par les extrémités du petit axe BB'; quand le point M décrit le quart d'ellipse BA, l'angle inscrit diminue depuis un angle droit jusqu'au minimum BAB', supplémentaire du maximum obtus ABA'.
170. Lorsqu'une ellipse est tracée, on peut déterminer graphiquement le centre et les axes. Pour trouver le centre, on mènera deux cordes parallèles suffisamment écartées l'une de l'autre; on joindra les milieux de ces cordes, ce qui donnera un diamètre, dont le milieu sera le centre. Si sur ce diamètre on décrit un demi-cercle, et que l'on joigne aux deux extrémités du diamètre le point où ce demi-cercle coupe la demi-ellipse, on aura deux cordes supplémentaires perpendiculaires entre elles; les diamètres parallèles, formant un système de diamètres conjugués rectangulaires, seront les axes de l'ellipse.
On pourrait obtenir de la même manière les deux systèmes de diamètres conjugués qui font entre eux un angle donné compris entre le minimum et le maximum ; il suffirait de décrire sur un diamètre un segment capable de l'angle donné.
171. Construire une ellipse étant donnés deux diamètres conjugués, Soient DD', EE' (fig. io3) les deux diamètres conjugués
donnés, dont nous désignerons les longueurs par ia' et
ib\ L'équation de l'ellipse, rapportée à ces deux diamètres conjugués, est
Par le centre, menons la droite E^'j perpendiculaire Fis- 103- à DD', et prenons OE^OE;
l'ellipse qui a pour axes DD', EjE^, rapportée à ces axes, est représentée par la même équation. Il en résulte que les ordonnées MP, MiP, qui correspondent à une même abscisse OP, sont égales entre elles. Imaginons que, parle procédé indiqué au n° 149, on ait construit différents points de l'ellipse DE^, dont on connaît les axes; soit Mi l'un de ces points, M,P son ordonnée ; si par le point P on mène PM parallèle à OE et égale à PM1? on aura un point M de l'ellipse demandée. Chaque point de la première ellipse donnera un point correspondant de la seconde. Ceci revient à déformer la première ellipse en faisant tourner chaque ordonnée PMj autour de son pied P d'un angle constant.
Le même mode de transformation s'applique à la tangente,, La tangente au point M est représentée par l'équation
xXJ yY
en coordonnées obliques ; cette équation représente aussi la tangente au point M4 en coordonnées rectangulaires. Ces deux tangentes coupent le prolongement du diamètre DD' au même point T, dont on obtient l'abscisse en faisant Y=o.
Au lieu de construire l'ellipse par points, comme nous l'avons expliqué, on pourrait déterminer d'abord les axes de l'ellipse, et construire ensuite cette ellipse au moyen de ses axes. La détermination des axes dépend du théorème suivant.
172. Deux diamètres conjugués quelconques déterminent sur une tangente fixe PQ deux segments DP, DQ; dont le produit est
constant et égal au carré du demi- diamètre OE parallèle à la tangente (fi g. 104).
^ k.^ Si Ton prend pour axes des
coordonnées le diamètre OD, qui passe par le point de contact et le diamètre conjugué OE, et si Ton appelle a' et V les longueurs de ces demidiamètres, l'équation de l'ellipse est
Fig. 104.
Soient
y = mx , y = mx
les équations de deux diamètres conjugués 0 A, OB; d'après la
remarque faite au n° 160, les coefficients angulaires seront
lies par la relation mm' = -. Si, dans ces équations, on
fait x = a!, on trouve DP = — ma', DQ = m'a' \ d'où DP X DQ = — mm' a'* = b'\ 173. On démontre facilement ce théorème quand on considère l'ellipse comme la projection d'un cercle. Soient OAt, OB! (fig. io5) deux diamètres rectangulaires du cercle, P.^ la tangente en un point quelconque M{ ; menons le rayon OMi et le rayon ON 4 parallèle à la tangente ; dans le triangle rectangle
PjOQj, on a
M4Pi Xl^Q^OM^ON;.
Quand on projette la figure, les diamètres OAj , OBi donnent deux diamètres conjugués de l'ellipse, la tangente PjQj une tangente à l'ellipse et la droite ONj une parallèle à cette tangente; les droites M^P^M^, QN4, étant parallèles, ont des projections MP , MQ , ON qui leur sont proportionnelles ; on a donc aussi entre ces projections la relation
MP.MQ = ONs.
Fig. 105.
174. Supposons que ics deux diamètres conjugués OA et OB soient les axos de l'ellipse (fig. ia.'i). Le cercle décrit sur PQ comme diamètre passe par le point 0, et l'ordonnée DH, perpendiculaire àPQ, est égale à OE. Il en résulte un moyen facilo de construire les directions des axes, quand on connaît deux diamètres conjugués OD et OE. Parle point D on mènera une parallèle à OE ; cette parallèle sera tangente au point D; on élèvera sur cette droite une perpendiculaire DH égale à OE, et on décrira un cercle ayant son centre sur PQ et passant par les points 0 et H ; les droites OP et OQ qui vont du centre aux deux points P et Q, où le cercle coupe la tangente, donneront les directions des axes.
175. Il reste à déterminer les grandeurs des axes. Des relations
at + b* = a'% + V* , ab=cfb' aint,
démontrées au n° i63, on déduit (a— ô)2=a,2 + 6'2 — 2a^sinô=:a/2 + ^2— aa'é'cos (-— e),
(a + ô)a=a'» + 6'1 + 2a'6'siiie=a'1 + 6'1 — 2a'*'cos(-+eY
Comme on peut supposer que G désigne l'angla aigu des diamètres conjugués, on voit par ces formules que la longueur a — b est le troisième côté d'un triangle dont les deux autres
côtés sont a! et b' et l'angle compris 0. Ce triangle est le
triangle ODH (fig. 104); car l'angle ODH est égal à -— 0, et
les deux côtés DO et DH sont égaux à a' et b'; ainsi le troisième côté OH donnera a — b. De même a-\-b est le troisième côté d'un triangle dont les deux autres côtés sont a' et b' et l'angle compris supplémentaire du précédent; ce triangle est le triangle ODK, que l'on obtient en prolongeant la perpendiculaire DH d'une longueur égale à elle-même; le troisième côté OK donnera a-\- b. Si du point 0 comme centre, arec OH pour rayon, on décrit un cercle, la longueur Kl sera égale au grand axe 2a, la longueur KL au petit axe 2b.
DE L'ELLIPSE. l'>3
On peut remarquer que le grand axe, qui doit être compris dans l'angle aigu des diamètres conjugués, est dirigé suivant OA, bissectrice de l'angle HOK, le petit axe est la bissectrice de l'angle supplémentaire.
EXERCICES
i° Trouver le lieu des sommets des parallélogrammes construits sur les diamètres conjugués d'une ellipse.
2° Trouver le lieu du milieu des cordes menées par un même point dans une ellipse.
3° Une corde d'un cercle se meut parallèlement à elle-même ; par les extrémités on mène des droites parallèles à deux directions données ; trouver le lieu du point de rencontre des parallèles.
4° Parmi tous les parallélogrammes circonscrits à une même ellipse, les parallélogrammes construits sur deux diamètres conjugués ont une aire minimum.
5° Parmi tous les parallélogrammes inscrits dans une même ellipse, ceux dont les diagonales forment un système de diamètres conjugués ont une aire maximum.
6° De toutes les ellipses inscrites dans un même parallélogramme, quelle est la plus grande ?
7° De toutes les ellipses circonscrites à un même parallélogramme, quelle est la plus petite ?
8° Parmi tous les systèmes de diamètres conjugués de l'ellipse, les axes forment une somme minimum et les diamètres conjugués égaux une somme maximum.
9° Inscrire dans l'ellipse une corde de direction donnée telle que la somme de sa longueur et de la distance de son point milieu au centre soit maximum. Trouver le lieu du milieu de cette corde, quand la direction varie.
io° Une droite se meut parallèlement à elle-même dans le plan de deux autres ; on prend sur elle un point tel que la somme des carrés de ses distances aux intersections avec les droites fixes soit constante : quel est le lieu décrit par le point?
ii<> Étant données deux ellipses quelconques, on peut déterminer deux directions parallèles à la fois à deux diamètres conjugués de l'une et de l'autre ellipse ; par les points communs aux deux courbes passe une troisième ellipse dans laquelle les diamètres conjugués égaux sont parallèles à ces deux directions.
GEOM. ANALYT. °
ia° Une ellipse tourne autour de son centre; aux points où elle eoupe une droite fixe, on mène des tangentes à la courbe; trouver le lieu du point d'intersection de ces tangentes.
i3° On donne un cercle et une droite tixe passant par son centre ; une droite mobile égale au rayon s'appuie par une de ses extrémités sur le cercle, par l'autre sur la droite; trouver le lieu décrit par un point de la droite mobile.
i4° Trouver Taire de l'ellipse définie par l'équation
Aa?2 +ZBocy + Q/2= i.
i5° Un triangle étant inscrit dans une ellipse, si on appelle R le rayon du cercle circonscrit, et d, d', d" les demi-diamètres parallèles
aux côtés, on a R = — r — ab
i6° Un rectangle quelconque étant circonscrit à une ellipse, le parallélogramme qui a pour sommets les points de contact a un périmètre constant, et deux côtés consécutifs font avec la tangente des angles égaux.
170 A partir d'un point quelconque d'une ellipse, on porte sur la
/t2 normale une longueur égale à — > k étant une constante et p la perpendiculaire abaissée du centre sur la tangente; trouver le lieu de l'extrémité de cette droite.
180 Étant donnés une ellipse et le cercle construit sur le grand axe comme diamètre, on mène les normales au cercle et à l'ellipse aux points situés sur une même perpendiculaire au grand axe; trouver le lieu du point d'intersection de ces deux normales.
