Construisons maintenant le lieu défini par l'équation

AV+CV+H=o,

dans laquelle A et C ont des signes contraires.

Lorsque la constante H est nulle, l'équation, résolue par rapport à y, donne

elle représente deux droites passant par l'origine.

Nous supposons le cofficient G' du morne signe que H et le coefficient A' de signe contraire; si Ton pose

l'équation devient

En la résolvant par rapport à y, on en déduit

L'ordonnée y n'est réelle que pour les valeurs de x plus grandes que a en valeur absolue; si donc, à partir de l'origine, on porte sur l'axe des ar, de part et d'autre, deux longueurs

Fig. 106.

OA, OA' égales à a9 et que par les points A et A' on mène

des parallèles à Taxe des y, la courbe n'a aucun point entre ces parallèles.

Quand x croît de a à + °°r y croît de o à -}-oo en valeur absolue, ce qui, à cause du double signe, donne deux arcs infinis AD, AD', symétriques par rapport à Taxe des x. Il en est de même, quand x varie de — ak — oo, ce qui donne les deux arcs A'E, A'E', symétriques des précédents par rapport à l'axe des y. Ces quatre arcs égaux forment les deux branches de l'hyperbole.

L'hyperbole admet un centre et deux axes. L'axe AA' rencontre seul la courbe ; on l'appelle pour cette raison axe transverse ou réel; l'autre axe OY ne rencontre pas la courbe; on l'appelle axe non transverse ou imaginaire; la longueur A A' de l'axe transverse est 2a; par analogie, on dit que ib est la longueur de Taxe non transverse, et on porte la longueur 6 sur cet axe en OB et OB'. Les points A et A' sont les deux sommets de l'hyperbole.,

177. Les carrés des ordonnées perpendiculaires à Taxe transverse sont proportionnels aux produits des segments correspondants for* mes sur cet axe.

En effet, de l'équation (1) on déduit

y „bl

tf—a*

donc