OU 1/ = ±<-X
On peut vérifier aisément que la différence MN des ordonnées de la droite OR et de Tare AD a pour limite zéro ; car cette différence a pour expression
ab
x -J- Va?2 — a2
L'arc AD est compris dans l'angle ROX et se rapproche indéfiniment de la droite OR, qui est son asymptote. Les droites OR7, OS, OS' sont de même les asymptotes des arcs A; E', A'E, AD'. Ifaprës l'équation (3), les asymptotes R'R, S'S sont les diagonales du rectangle construit sur les axes.
179. Hyperboles conjuguées. — Deux hyperboles sont dites conjuguées lorsque, ayant même centre et mêmes axes, Taxe réel de Tune est axe imaginaire de l'autre. Ainsi l'hyperbole proposée a pour conjuguée une autre hyperbole ayant pour axe transverse ib et pour axe imaginaire ia (fig. 107). L'équation de cette seconde hyperbole est
ït~V~~u
Deux hyperboles conjuguées ont les mêmes asymptotes,
puisque le rectangle construit sur les axes est le même pour les deux courbes. L'une des
courbes est comprise dans les
deux angles ROS', R'OS, opposés par le sommet, la seconde dans les deux autres angle,1? ROS,
Fig- *07. • R'OS'.
180. Hyperbole équilatère. — On dit qu'une hyperbole est équilatère lorsque les axes a et b ont même longueur. Dans ce cas, le rectnngle des axes devient un carré, et les asymptotes sont perpendiculaires entre elles; l'hyperbole conjuguée est
égale a la première; on l'obtient en faisant tourner celle-ci d un angle droit autour de son centre.
La condition pour que l'équation générale du second degré représente une hyperbole équilatère, a été donnée précédemment (n° 144); elle est A + C — 2Bcosô = o.
L'hyperbole dont les axes sont a et b peut être construite au moyen de l'hyperbole équilatère dont l'axe est a, comme on a construit l'ellipse ayant pour axes a et b au moyen du cercle de rayon a, c'est-à-dire que la première hyperbole peut être regardée comme la projection orthogonale de la seconde. Mais cette considération n'est d'aucune utilité dans les constructions graphiques relatives à l'hyperbole, parce que le tracé d'une hyperbole équilatère n'est pas plus simple que celui d'une hyperbole quelconque.
181. Soient # et y les coordonnées d'un point quelconque du plan; considérons le polynôme
Pour un point M appartenant à la courbe, ce polynôme est égal à zéro ; si l'on fait marcher un point P à partir de M sur une parallèle à
