TU X

Ffg. 108.

l'axe transverse AA' (fig. 108), le terme

conserve une va-

leur invariable, tandis que le terme -^ diminue ou augmente,

suivant que le point P se rapproche ou s'éloigne de l'axe des y. Il en résulte que le polynôme a une valeur négative pour tous les points situés entre les deux branches de l'hyperbole, et positive pour tous les autres points du plan.

TANGENTE

182. L'équation de la tangente au point M, dont les coor-« données sont x et y, est

(5) —ir-™-

Pour construire cette droite, on peut déterminer le point T

(fig. 108), où elle coupe Taxe OX. Si, dans l'équation (5), on

a2 fait Y=o, il vient X— OT— — ; on obtient cette longueur OT

par une troisième proportionnelle.

183. Le coefficient angulaire de la tangente a pour valeur b2x b

Supposons que le point M décrive l'arc AD ; en A le coefficient angulaire est infini, et la tangente perpendiculaire à l'axe transverse ; a? augmentant, le coefficient angulaire diminue

constamment et tend vers la limite-, coefficient angulaire

de l'asymptote OR ; l'angle MTX diminue donc de - à ROX ;

en même temps la valeur de OT diminue de a à o ; il en résulte que l'asymptote est la position limite de la tangente, quand le point de contact s'éloigne indéfiniment.

104 . Mener une tangente par un point extérieur P. — Si l'on appelle xx et y, les coordonnées du point P, les points de contact sont déterminés par l'équation de la corde des contacts

jointe à l'équation (1) de l'hyperbole.

En éliminant y, on obtient l'équation du second degré

a2 Va2 à") 2 a2 ^V + b*)-°9

dont les racines sont les abscisses des points de contact M et M'

des deux tangentes menées du point P. La condition de réalité

x* y* des racines est ~~ |^— i<o, c'est-à-dire que le point P

doit être placé entre les deux branches de la courbe. Si le

point P est placé dans les angles des asymptotes qui compren-

x2 ?/2 ncnt la courbe, le coefficient -y— p1 étant positif, le produit

des racines est positif; par suite, les deux racines sont de même signe, et les deux points de contact sur une même branche delà courbe. Au contraire, si le point P est dans l'un des angles ROS, R'OS', il y a un point de contact sur chacune des branches.

185. Tangente parallèle à une droite donnée.— -Nous remarquons que l'équation de l'hyperbole rapportée à ses axes ne diffère de celle de l'ellipse qu'en ce que £2 est remplacé par — b* ; si dans l'équation (7) du n° 157 de la tangente à l'ellipse on effectue ce changement, on obtient l'équation de la tangente à l'hyperbole (7) y=mxdotf a2 m2 — 62.

Pour que le problème soit possible, il faut que la valeur de ma

soit plus grande que —, c'est-à-dire que, si la droite donnée

passe à l'origine, elle soit comprise dans l'angle ROS. Nous avons vu déjà (n° 18 3) que la valeur numérique du coefficient angulaire d'une tangente est plus grande que - •

186. On ne peut mener à une hyperbole deux tangentes rectangulaires que lorsque l'angle ROS' est moindre qu'un angle droit, c'est-à-dire lorsque a est plus grand que b ; quand cette condition est satisfaite, le lieu du sommet d'un angle droit circonscrit à l'hyperbole a pour équation

œ*Jry*=a* — b*\ c'est un cercle concentrique à la courbe.

DIAMETRES.

Lorsque l'hyperbole est rapportée à ses axes, le diamètre qui divise en deux parties égales les cordes dont le coefficient angulaire est m a pour équation

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