IX / / X
ou
Fig. 10*.
Si l'on désigne par m' le coefficient angulaire du diamètre, on
a, entre la direction des cordes et celle du diamètre, la relation
(8) mm =-r-
Cette relation montre que si Ton prend m' pour coefficient angulaire des cordes, on trouvera m pour coefficient angulaire du diamètre; c'est-à-dire que si la droite DD' divise en deux parties égales les cordes parallèles à EE' (fig. 109), réciproquement la droite EE' divise en parties égales les cordes parallèles à DD'. Ainsi les deux diamètres DD', EE' sont tels que chacun divise en parties égales les cordes parallèles à l'autre ; ce sont deux diamètres conjugués.
L'hyperbole a une infinité de systèmes de diamètres conjugués, puisque l'on peut prendre à volonté l'un des diamètres. La relation (7) exige que m et m! aient le même signe ; si on
les suppose positifs, m variant de 0 à -, m' variera de 00 à -;
le diamètre DD' tourne de OA vers l'asymptote OR, et le diamètre EE' de OB vers la même asymptote. On voit ainsi que, des deux diamètres, l'un rencontre toujours la courbe, et que l'autre ne la rencontre pas. Les axes forment le seul système de diamètres conjugués rectangulaires, et l'angle aigu de deux
diamètres conjugués varie de - à 0.
On démontre comme pour l'ellipse que la tangente FH en un point D de l'hyperbole est parallèle au diamètre EE' conjugué du diamètre DD' qui passe au point de contact (n° 16O).
188. Deux hyperboles conjuguées et le système de leurs asymptotes admettent le même diamètre pour la même série de cordes ; car les équations des trois lieux
ne diffèrent que par le terme constant qui n'entre pas dans l'équation du diamètre £' + m/r'=o. Les trois lieux admettent aussi les mêmes systèmes de diamètres conjugués.
b2 Si l'hyperbole est équilatère, la relation mm'= — devient
mm? — 1, ce qui signifie que les angles DOX, EOX sont complémentaires, et, par suite, que les asymptotes sont bissectrices des angles des diamètres conjugués.
180. Hyperbole rapportée à deux diamètres conjugués, — Lorsqu'on prend pour axes des coordonnées deux diamètres conjugués OD, OE (h'g. 109), l'équation de l'hyperbole devient (n° i36)
Les coefficients A'7 et C'ont des signes contraires, par exemple C'a le signe de H, et A" un signe contraire; si Ton pose
a - A" ' -C* l'équation prend la forme simple
qui est la même que celle de la courbe rapportée à ses axes» Comme on a, par la transformation des coordonnées, x2 y* x'2 y'2
pour tous les points du plan, il s'ensuit que l'équation de l'hyperbole conjuguée, rapportée aux mêmes diamètres OD, OE, est
^! al—
Le diamètre OE, qui ne rencontrait pas la première hyperbole, rencontre la seconde au point E, et la longueur b' de ce demi-diamètre imaginaire de la première hyperbole est égale à la longueur OE du demi-diamètre réel de la seconde.
100. L'équation (3) des asymptotes se transforme en l'équation
aï* y'2 , .V
On en conclut que les diagonales du parallélogramme FHGK
construit sur deux diamètres conjugués quelconques, coïncident avec les asymptotes de l'hyperbole.
Les côtés FH, GK du parallélogramme sont tangents à la première hyperbole, et les côtés FK, GH à l'hyperbole conjuguée, de sorte que le parallélogramme est circonscrit au
système des deux courbes.
