THÉORÈMES D'APOLLONIUS
191. Il suffit de répéter le raisonnement du n° i63. Par les formules de transformation des coordonnées, les deux binômes
se changent en x^ a'2 b
%-Ç > ^ + e//2 + 2xycosd.
Le polynôme
OU
se transforme en
ou
Les deux polynômes (10) et (n) étant des carrés parfaits
pour les mêmes valeurs de X, les deux équations
et
(i3) XJ — (a'2 — ô'2)X — a'2ô'2 sin 2Ô = o,
admettent les mêmes racines ; il en résulte que les deux ra-
cines de l'équation (i3) sont égales respectivement à a* et à £* ; on en déduit les relations
(14) af* — l/Ë = a* — b\
(i5) a/2ô/2sin2ô = a2ô2 ou a/ô,sinô = aè,
et Ton obtient les deux théorèmes suivants :
i° La différence des cay%rés de deux diamètres conjugués quelconques est constante et égale à la différence des carrés des axes ;
2° L'aire du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués est constante et égale à Vaire du rectangle construit sur les axes.
De la relation a'2 — £'2=a2 — b2, il résulte que si a est différent de b, on ne peut avoir a'=b'; l'hyperbole n'a pas de diamètres conjugués égaux. Si, au contraire, l'hyperbole est équilatère, on a toujours a'=b'; tous les systèmes de diamètres conjugués sont égaux; ce qui s'accorde avec la remarque du n° 188, puisqu'alors les deux diamètres font avec l'asymptote des angles égaux.
192. L'hyperbole et ses deux asymptotes ayant le même diamètre pour une même série de cordes, le milieu I de la corde MM' est aussi le milieu delà corde NN' (fig. 109). Donc les portions MN, M'N' d'une sécante comprise entre V hyperbole et ses asymptotes sont égales.
Si la sécante devient tangente, on a DF = DH ; les portions d'une tangente comprises entre le point de contact et les asymptotes sont égales.
193. Supposons l'hyperbole rapportée à deux diamètres conjugués DD', EE', dont l'un EE' est parallèle à une sécante donnée MM'; la courbe aura pour équation
et les asymptotes y'2 = — x'2. Dans la figure 109, la sécante MM' coupant la même branche en deux points, le diamètre
parallèle EE' ne rencontre pas la courbe ; et Ton a
