NI

et, par suite,

NT — Mî :

mais NI -

donc

--b'\ ou (NI — MI) (NI + MI):

-MI=MN , NI + MI=MN; MNxMN'=ô'2.

Lorsque la sécante coupe les deux branches de l'hyperbole, le diamètre parallèle rencontre la courbe, et Ton arrive à un résultat analogue. Ainsi, le 'produit des segments d'une sécante, compris entre un point de la courbe et les asymptotes, est égal au carré du demi-diamètre parallèle à la sécante.

194. Connaissant les asymptotes RR', SS' et un point M de l'hyperbole, on peut obtenir autant de points de la courbe qu'on le veut (flg. no). Menons, en effet, par le ■ point M une droite quelconque NMN' ; cette droite coupe les asymptotes en N et N'; si l'on prend sur cette droite une longueur N'M' égale à NM, on aura un second point M' de l'hyperbole. On peut aussi déterminer les directions et les grandeurs des axes. La courbe étant comprise dans les angles ROS, R'OS', la bissectrice OA de ces deux angles sera l'axe transverse, et la perpendiculaire OB l'axe imaginaire. Menons QMQ' perpendiculaire à OA, l'axe imaginaire b sera moyen proportionnel entre MQ et MQ'. En portant sur OB une longueur OB égale à b, et en menant BC parallèle à OA, BC sera l'axe réel a. Pour construire la tangente en un point M' de la courbe, on mènera par ce point M'P parallèle à une asymptote, on prendra OG = 2OP; la droite M'G sera la tangente demandée.

193. Lorsqu'on connaît les positions et les grandeurs do deux diamètres conjugués, on obtient aisément les axes.

Fig. 110.

Soient, en effet, DD', EE' (fig. m) les deux diamètres, dont le premier est réel; les diagonales du parallélogramme construit sur les deux diamètres sont les asymptotes; connaissant les asymptotes et un point D, on est ramené à la construction précédente.

Cordes supplémentaires. — On appelle cordes supplémentaires deux cordes MC , MC ' qui, partant d'un même point de la courbe, aboutissent aux extrémités d'un même diamètre CC (fig. 112).

On démontrera, comme nous l'avons fait au n° 168 pour l'ellipse, que Fig. ii2. x deux cordes supplémentaires sont pa-

rallèles à un système de diamètres conjugués; et que , réciproquement, si par les extrémités d'un diamètre on mène des droites parallèles à deux diamètres conjugués, ces droites se coupent sur Vhyperbole et forment un système de cordes supplémen» taires.