AIRE D'UN SEGMENT HYPERBOLIQUE

199. Nous commencerons par établir le théorème qui sert ordinairement à l'évaluation des aires. Considérons l'aire comprise entre l'axe OX, une courbe, une ordonnée fixe AH, et une ordonnée mobile MP ifig. 1 \\), correspondantàl'abscissea?; cette aire, que nous désignerons par S, est une fonction de la variable x, dont nous nous proposons de déterminer la

Fig. 114.

dérivée. Donnons à x un accroissement A#=PP' assez petit

pour que de M en M' l'ordonnée varie dans le même sens ; par les points M et M' menons des parallèles MC, M'D à Taxe OX ; l'accroissement AS de Taire est plus grand que le parallélogramme MPP'C, et plus petit que le parallélogramme DPP'M'; le premier parallélogramme a pour mesure ykx sinô, 8 étant l'angle des axes, le second {y + Ày) \% sin 6; on a donc

yA#.sin8<AS<(y-|-Ay)A#.sin8, et, en divisant par A#,

AS ysmÔ< — <(y + A?/)sinÔ.

Supposons maintenant que Ton fasse tendre A# vers zéro ; le

rapport — est compris entre deux quantités, l'une y sinô,

l'autre ayant pour limite cette quantité; donc le rapporta aussi pour limite y sin 8. Ainsi la dérivée de l'aire considérée comme une fonction de l'abscisse est?/ sin 8. Réciproquement, Taire S est une fonction primitive de y sin 8, considéré comme une fonction de x.

Quand les axes des coordonnées sont rectangulaires, la dérivée de Taire est égale à y.

200. Considérons une hyperbole rapportée à ses asymptotes, et proposons-nous d'évaluer Taire comprise entre Tagymptote OX, l'hyperbole, l'ordonnée fixe AB correspondant à

l'abscisse a et l'ordonnée variable MP correspondant à l'abscisse x (fig. 1 15). De l'équation

k (i6)on déduit y = — , et, par

suite,

S' = ysin0=A sinôx-*

Or - est la dérivée de Lx; donc

Fig. 115.

k sin G X - est la dérivée de k sin 8 Lx; on a, par conséquent,

S=A2sin8L#+C.

On détermine la constante C par la condition que Taire soit nulle pour x = a, ce qui donne C = — k sin 0 La. On a ainsi

(18) S— k sin0(L# — La) = k sinôxL(-Y

L'abscisse a restant constante, si Ton fait augmenter x indéfiniment, l'aire S augmente aussi au delà de toute limite. La même chose a lieu quand on fait tendre a vers zéro, x restant fixe.

Dans le cas particulier où l'hyperbole est équilatère, on a sin 0= 1 ; si l'on suppose en outre k = 1, et que l'on compte l'aire depuis l'ordonnée qui répond à l'abscisse 1, c'est-à-dire au sommet de la courbe, la formule précédente se réduit à

C'est à cause de cette propriété que les logarithmes népériens ont été appelés aussi logarithmes hyperboliques.

Si l'on suppose k = 1 et a — 1, la formule (10) devient S = sin0L(».

On pourra prendre l'angle 0 de manière que S soit le logarithme de x dans un système quelconque dont la base est plus grande que e.

EXERC'GES.

i° La base d'un triangle est fixe, la différence des angles à la base

est égale à - ; on demande le lieu du troisième sommet du triangle.

20 Quel est le lieu des centres des circonférences qui interceptent des longueurs données sur les côtés d'un angle donné?

5° On donne deux droites fixes, une droite mobile coupe les deux premières de manière à former un triangle de grandeur constante ; on demande le lieu des centres de gravité de ces triangles.

4° Les sécantes menées de l'un quelconque des points d'une hyper bole à deux points fixes pris sur la courbe interceptent sur l'une ou l'autre asymptote des longueurs constantes.

5° Toute corde d'uue hyperbole divise en deux parties égales la portion de l'une ou l'autre asymptote comprise entre les tangentes à tes deux extrémités.

GÉOM. ANAI.Vï 14

(5° Si, sur une corde d'une hyperbole considérée comme diagonale, on construit un parallélogramme dont les côtés soient parallèles respectivement aux asymptotes, l'autre diagonale passera par le centre.

7° On donne un point fixe et une droite fixe ; un angle de grandeur constante tourne autour de son sommet placé au point fixe; trouver le lieu du centre du cercle circonscrit au triangle formé par les côtés de l'angle et la droite fixe.

8° Un triangle ABC est inscrit dans une hyperbole; deux de ses côtés ont des directions invariables ; trouver le lieu du milieu du troisième côté.

9° Sur Tune des diagonales d'un rectangle prise pour corde on décrit un cercle ; trouver le lieu des extrémités des diamètres parallèles à la seconde diagonale.

io° Étant donnés un angle et un point fixe, par ce point on mène une sécante quelconque, et par les points où cette sécante rencontre les deux côtés de l'angle, on mène des droites respectivement parallèles à ces côtés ; trouver le lieu du point d'intersection de ces parallèles.

ii° Trouver le lieu d'un point tel qu'en menant par ce point des parallèles aux asymptotes d'une hyperbole, l'aire du triangle formé par ces parallèles et l'hyperbole soit égale à une constante donnée.

i2° Trouver le lieu d'un point tel que l'une des bissectrices des angles formés par les droites qui joignent ce point à deux points fixes A et B ait une direction donnée.

i3° Toute hyperbole équilatère circonscrite à un triangle passe par le point de rencontre des hauteurs.

i4° Étant donnée une ellipse, on mène deux diamètres conjugués quelconques ; trouver le lieu du point d'intersection de l'un d'eux avec une droite menée par un point fixe perpendiculairement à l'autre, ou, plus généralement, avec une droite faisant un angle donné avec le second diamètre.

i5° On donne deux droites A'A, B'B et un point 0 ; du point 0 comme centre, avec un rayon arbitraire, on décrit un cercle ; aux points de rencontre du cercle avec les droites on élève des perpendiculaires à ces droites ; trouver le lieu des points d'intersection de ces perpendiculaires*