MP2 AP

on déduit . = — -.

WP'* AP' Les carrés des ordonnées perpendiculaires à l'axe de la parabole sont proportionnels aux segments de l'axe compris entre le sommet et les ordonnées,

204. Par le point M de la courbe, menons une parallèle à l'axe, et imaginons qu'un point mobile parcoure cette parallèle. Dans la fonction y* — ipx remplaçons x et y par les coordonnées du point mobile ; si le point M est dans la région placée du côté des x positives par rapport à la parabole, la fonction sera négative, si le point M est dans l'autre région la fonction sera positive. Pour abréger, nous dirons que la première région est intérieure à la courbe et la seconde extérieure.

205. Nous avons vu que les branches infinies de l'hyperbole ont des asymptotes ; il n'en est pas de même de la parabole. Et, d'abord, puisque y augmente indéfiniment avec x, il n'y a pas d'asymptote parallèle à l'axe de la parabole. En second lieu, soit yi=ax-{-b l'équation d'une droite quelconque oblique à l'axe, la différence des ordonnées des points de la droite et de la courbe qui correspondent à une même abscisse est égale à

s ax-\-b — y ipxy et peut se mettre sous'la forme

Quand x augmente indéfiniment, le premier facteur augmentant indéfiniment, et le second tendant vers la valeur a différente de zéro, le produit augmente indéfiniment. Donc il n'j a pas non plus d'asymptote oblique à Taxe.

TANGENTE

206, La tangente au point M, dont les coordonnées sont *

et y, a pour équation

00 yY=p(X + x).

Soit T lo point où la tangente rencontre Taxe de la parabole

(fi g. 117); si dans l'équation (2) on fait Y=o, on trouve X= — x\ donc AT=AP. Ceci donne un moyen facile de construire la tangente à la * parabole en un point donné M ; on abaissera la perpendiculaire MP sur Taxe, on prendra AT=AP et l'on joindra les points M et T.

207. Mener une tangente par un point extérieur M^ — Soient xi et yi les coordonnées du point Mj ; les points de contact seront déterminés par l'équation de la corde des contacts (3) yiy=p(* + ffi)>

jointe à celle de la courbe (1); on en déduit

ces valeurs sont réelles toutes les fois que le point M4 est extérieur à la courbe.

Pour construire la droite MM', on cherche les points où elle coupe les axes des coordonnées; si, dans l'équation (3), on fait y=o, on trouve x= — xlt c'est-à-dire que AI est égal à AP4 ;

si l'on fait x=o, on trouve y=?—\ on obtiendra le point K

par une quatrième proportionnelle.

203. Tangente parallèle à une droite donnée. — Si l'on désigne par m le coefficient angulaire de la droite donnée, l'équation - = m, et celle de la courbe, déterminent les coordon-

nées du point de contact, y—— , x=~2- ^n en déduit l'équation de la tangente

y=yi±\/yl — *Pxï

Y = mX4.X..

209. Normale, — La normale MN en un point M de la parabole, dont les coordonnées sont x et y, a pour équation

En y faisant Y=o, on obtient l'abscisse du point N où elle rencontre l'axe ; on trouve

PN — X — x=p.

Ainsi, dans la parabole la sous-normale PN est constante et égale au paramètre p.

DIAMÈTRES

210. En appliquant l'équation générale des [diamètres des courbes du second degré à la parabole, dont l'équation est y2 — 2px=o, on obtient l'équation

(6) my — p — o, ou y = — •

On retrouve cette propriété déjà démontrée au n° i34, savoir que tous les diamètres de la parabole sont parallèles à l'axe. Comme on peut prendre le coefficient angulaire m des cordes,

de manière que — ait telle valeur que l'on voudra, il en résulte ^ m

que, réciproquement, toute parallèle à l'axe est un diamètre.

Soit A' le point de rencontre du diamètre et de la courbe (fig. 118); l'ordonnée du point A' étant égale à — et le coefx ° m

ficient angulaire de la tangente en ce point

ayant pour valeur-, c'est-a-dire m, on en

lg" ' conclut que la tangente à V extrémité d'un

diamètre est parallèle aux cordes que ce diamètre divise en deux parties égales.

211. Parabole rapportée à l'un de ses diamètres et à la tangente à son extrémité. — Nous avons vu (n° i36) que, lorsqu'on prend pour axes des coordonnées un diamètre A'X' et la tan-

gente AT' à son extrémité, l'équation de la parabole prend

la forme

(7) y* = ip'x.

Si Ton appelle a et b les coordonnées du point A' par rapport

aux axes primitifs, et que Ton mène AP' parallèle à AT, on

sait que Ton a A'P'=AT=AP (n° 206); les coordonnées

AT' et — AT du sommet A par rapport aux nouveaux axes

sont donc a et —\/^ + b2; comme elles doivent vérifier

l'équation (7), on en déduit

, 4a2 + b2 4a9 + zpa

On a aussi