AIRE D'UN SEGMENT PARABOLIQUE

213. Proposons-nous d'évaluer l'aire S du triangle ATM formé par les droites AT, IM et l'arc A'M de la parabole (flg. 119). Si Ton considère cette aire comme une fonction de l'abscisse du point M, la dérivée S' est donnée par la formule

S' = y sin ô = Y/2//ÏÊ . sinO — \/2//. sinO .x\

On en déduit

S — - \Jip' . sin ô . x2 -f- C .

La constante C est nulle puisque l'aire se réduit à zéro pour x—o. On a ainsi

S = -xy 2p x sin Ô = - xy sin 0.

L'aire S est égale aux deux tiers du parallélogramme ATMN et, par suite, l'aire du triangle mixtiliçne A'NM est le tiers du même parallélogramme.

EXERCICES

i° Lieu du sommet d'un angle circonscrit à la parabole, et tel que le triangle formé par les côtés de l'angle et l'arc de parabole ait une aire constante.

s0 Lieu des points desquels on peut mener à une parabole deux normales rectangulaires.

3° Une sécant*? tourne autour d'un point fixe pris sur l'axe d'une parabole; par les points où elle coupe la parabole, on mène des normales ; trouver le lieu du point de concours de ces normales.

4° Une parabole se meut parallèlement à elle-même, de manière que son sommet décrive la parabole dans sa position initiale; du sommet de la parabole fixe, on mène des tangentes à la parabole mobile; trouver le lieu des points de contact.

5° Lieu du point tel que la somme des carrés des normales menées de ce point à une parabole donnée soit constante.

6° Étant donnée une courbe du second degré inscrite dans un angle, on mène une tangente quelconque à cette courbe; trouver le lieu du point de concours des médianes ou des hauteurs du triangle formé par la tangente mobile et les côtés de l'angle ; trouver aussi le lieu du centre du cercle circonscrit au même triangle.

7° Étant donnée une ellipse, par un point fixe on mène deux droites rectangulaires quelconques, et au point où ces droites rencontrent l'ellipse, on mène des tangentes à cette ellipse ; trouver le lieu des points de rencontre de ces tangentes.

8° Mêma problème, quand on remplace les droites rectangulaires par des droites parallèles à deux diamètres conjugués d'une autre ellipse donnée.

9° Un angle de grandeur constante tourne autour de son sommet placé sur une courbe du second degré donnée ; au point où les côtés de l'angle rencontrent la courbe, on mène des tangentes a cette courbe. Trouver le lieu des points de rencontre de ces tangentes.

io° Trouver le lieu du centre d'un triangle équilatéral formé par trois tangentes ou par trois normales à une parabole.

ii° L'aire d'un triangle qui a pour sommets les points de contact de trois tangentes à une parabole est le double de l'aire du triangle formé

par ces tangentes et a pour expression zfc ~ [y' — y") [y" '— y'") {y'"— y'),

en désignant par y', y" ,, y'" les perpendiculaires abaissées des sommets du triangle sur l'axe.

i2° On mène une tangente quelconque à une hyperbole, on joint les point? où elle coupe les asymptotes respectivement à deux points fixes ; trouver le lieu du point de concours des deux droites.

i3° Mener à une parabole une normale telle que l'aire compris® entre cette normale et la courbe ait une valeur minimum.