MP

± (mx -f- ny -f- h) ^

si Ton désigne par k le rapport constant ^, le lieu aura

pour équation

k (mx -\-ny-\-h)

y m2 -f- n2 k2 (mx -h ny -f- h)2

Ce lieu est une courbe du second degré. La quantité AC — B2 qui sert à distinguer l'espèce de la courbe, étant égale à 1 — k2, la courbe est une ellipse, une parabole, ou une hyperbole, suivant que le rapport k est inférieur, égal, ou supérieur à l'unité.

Réciproquement, étant donnée une courbe du second degrd nous nous proposerons de chercher s'il existe dans le plan de la courbe un point fixe F et une droite fixe DE, tels que le rapport des distances de chacun des points de la courbe au point F et à la droite DE soit constant. Si l'on trouve un point

et une droite jouissant de cette propriété, le point s'appellera foyer de la courbe, et la droite directrice.

Les axes des coordonnées étant quelconques et faisant entre eux un angle ô, supposons qu'on ait trouvé un point F ayant pour coordonnées a et p et une droite DE ayant pour équa-

tion mx + ny + h = o, tels que le rapport -rt-p soit égal à une

quantité constante k; la distance MP d'un point M de la courbe dont les coordonnées sont x et y à la directrice DE

± (mx 4- ny 4- h) sin ô ayant pour expression — =■ , on aura

y m2 + w2 — a'Mft cos ô

,,„ , kimx + nyA-fysmb

MF = =b

y m2 + w2 — '2mn cos 6

Ainsi la distance d'un point quelconque M de la courbe au foyer F s'exprime par une fonction entière et du premier degré des coordonnées x et y du point M.

Inversement, si un point F jouit de cette propriété que sa distance à un point quelconque M de la courbe s'exprime par une fonction entière et du premier degré des coordonnées x et y du point M, ce point F est foyer, c'est-à-dire qu'il existe une droite DE telle que le rapport des distances de chacun des points de la courbe au point F et ta la droite DE soit constant. En effet, supposons que l'on ait

FM — ± {mx -\-ny-\~ h),

en désignant par mx -f- ny -f- h une fonction entière et du premier degré des coordonnées x et y du point M. Considérons ia droite DE qui a pour équation

mx -\-ny-\-h = o;

Ja distance du point M à cette droite est donnée par la formule

Mp = ± (mx + ny + A) sin 0 %

on a donc

y/m2 + ?i2 — amw cos 0

MF y/m2 + ft2 — 2??^ cos 0 1 MP" sïnô ~~"

Ainsi, le rapport des distances de chacun des points de la courbe au point fixe F et à la droite fixe DE est constant; le point F est donc un foyer de la courbe, et la droite DE la, directrice correspondante. En désignant par k la valeur du

rapport constant, on a k sin ô -- y m2 + n% — 2mn cos ô-

21G. On peut donc substituer à la première définition du foyer la définition suivante. Le foyer est un point tel que sa distance à un point quelconque de la courbe puisse s'exprimer par une fonction entière et du premier degré des coordonnées variables du point de la courbe. Il est évident, d'ailleurs, que cette définition algébrique est indépendante de la position des axes des coordonnées dans le plan. Car, une fonction entière et du premier degré conserve ce caractère quand on change les axes. On obtient l'équation de la directrice en égalant cette fonction à zéro.

Si l'on prend l'axe des y parallèle à la directrice, Taxe des x étant quelconque, l'équation de la directrice devant se réduire à la forme mx-\-h = o, le coefficient n sera nul et la distance du foyer à un point quelconque M de la courbe s'exprimera par une fonction entière et du premier degré ± (mx -f- h) de l'abscisse x du point M.

On voit par là que la recherche du foyer et de la directrice ilans les courbes du second degré revient à la détermination d'un point F, tel que sa distance à un point quelconque M de la courbe s'exprime par une fonction entière et du premier degré des coordonnées a? et y du point M. Supposons les axes rectangulaires, et soit

i) Ax* + 2Bxy + Gif -f aD# + 2Ey + F = o

réquation d'une courbe du second degré donnée. Appelons a et p les coordonnées du foyer cherché, les coordonnées de chacun des points de la courbe devront vérifier l'équation

\/{x - a)2 + (y — |3)2 = zh (mx + ny + A), (i) ou (x — a)2 -(- (|/ — p)2 — (m,r -f- ^2/ + ^2 = °-

Les équations (1) et (2), représentant toutes les deux la même courbe, sont identiques, c'est-à-dire que les coefficients des termes correspondants doivent être proportionnels ; on aura donc, pour déterminer les cinq inconnues a, (3, m, n, h, les cinq équations

1— m2 ___— mn 1 — n2 — (q-f-mft) __ — (p+nft) a'+P'— ^s J A ~"~B~~" G ~~ D "" Ë ~~ F

Afin de faciliter le calcul, nous considérons séparément les trois courbes du second degré, rapportées aux systèmes d'axes rectangulaires qui ont servi à simplifier leurs équations. Nous indiquons plus loin (284) une autre méthode pour la recherche des foyers, utile surtout pour trouver des lieux géométriques de foyers.