Soit
réquation d'une ellipse donnée rapportée à ses axes. Cette équation ne contenant pas de termes en xy, il faut que le coefficient — imn de ce terme dans l'équation (2) soit nul, ce «qui exige que l'on ait, soit'w = o, soit m = o. Supposons d'abord n = o; les coefficients des termes du premier degré
devant être aussi nuls, on aura <x + m/£ = o} p = o, et les équations (3) se réduiront à
On en déduit m2 = i— ; comme on peut toujours supposer
m positif, sans quoi on changerait les signes des coefficients
m, n9 h dans l'équation (a), on prendra m = . Si,
dans l'équation a2 (i — m2) = h2 — a2, on remplace A par sa valeur tirée de l'équation u.-{-mh = o, on trouve a2 = a2 — #2,
d'où a = ± \/«2 — *S h^zpa.
On obtient ainsi deux foyers F et F7 (fig. 121), situés sur le
grand axe et à égale distance de part et d'autre du centre. Pour les déterminer, de l'extrémité B du d x petit axe comme centre, avec un rayon égal à a, on décrira un cercle; les points F et F' où ce cercle coupe le grand axe, sont les foyers. Si, pour abréger, on
pose a2 — b'2 = c*, on a ol = ±c, m = -, h = zp.a; les signes
ti
supérieurs se rapportent au foyer F, les signes inférieurs au
foyer F'. On sait que Ton a l'équation de la directrice en
égalant à zéro le polynôme mx-\-nij-\-h; cette équation se
réduit h-xzpa—o, ou x = ±-~. On obtient ainsi deux a c
directrices ; au foyer F correspond la directrice DE qui a
pour équation œ= ; au foyer F' la directrice D'E' qui a
pour équation x = . Ces directrices sont perpendiculaires
au grand axe et à égale distance du centre ; la détermination du point D dépend d'une troisième proportionnelle; on la construit de la manière suivante : sur le grand axe comme diamètre décrivons un cercle, par le foyer F élevons une perpendiculaire à cet axe, et, au point N où la perpendiculaire coupe le cercle, menons une tangente au cercle; le point où cette tangente rencontre le grand axe est le point D.
Nous avons vu aussi que le rapport constant des distances de chacun des points de la courbe au foyer et à la directrice
correspondante est égal à s/m* +^2> en coordonnées rectangulaires; on a donc k = m = -.
appelle l'excentricité e de l'ellipse.
gulaires; on a donc k = m = -. Le rapport- est ce qu'on
218. Supposons maintenant m = o; les coefficients des termes du premier degré devant être nuls, on aura a = o, p-|~nA = o, et les équations (3) se réduisent à
On en déduit
, p = ±v/ôa— a* y h = + b..
Pour obtenir ces nouvelles solutions, il suffit de permuter dans les premières les lettres a et b, m et n> a et 6. Gomme nous avons supposé a plus grand que b, ces deux solutions sont imaginaires. Ainsi on peut attribuer aux constantes quatre systèmes de valeurs qui rendent identiques les équations (2) et (4); mais il n'y a que deux de ces systèmes qui donnent des foyers et des directrices réels.
219. Théorème I. La somme des distances de chacun des points de l 'ellipse aux deux foyers est constante.
La distance d'un foyer à un point quelconque M de la courbe
f clIT
a pour expression ± (mx + ny + h), c'est-à-dire ± l a — ■ —
^ il
on choisira le signe de manière à avoir une quantité positive. Les abscisses a et x du foyer et d'un point de l'ellipse étant moindres que a en valeur absolue, le second terme est plus petit que a en valeur absolue, et, par conséquent, la quantité placée entre parenthèses est positive pour tous les points de l'ellipse : il faudra donc affecter la parenthèse du signe +, et l'on aura
MF = « — ex , MF/=a-\-exi
d'où l'on déduit
MF + MF = ia.
220. Corollaire. La somme des distances d'un point intérieur à F ellipse aux deux foyers est plus petite que le grand axe; la somme des distances d'un point extérieur est plus grand que le grind axe.
Considérons d'abord un point N (fig. 111) situé à l'intérieur
de l'ellipse. Joignons ce point aux deux
foyers et prolongeons la droite FN
jusqu'à sa rencontre avec l'ellipse en
M. Le point M appartenant à l'ellipse,
la somme des deux rayons vecteurs
TÏ^TÎii. MF -f MF' est égale au grand axe A A/ ;
mais la ligne droite NF est plus petite que la ligne brisée
NM + MF; en ajoutant de part et d'autre la même longueur
FN, on voit que le chemin FN+ NF est plus petit que FM
+■ MF, c'est-à-dire plus petit que AA'. Considérons maintenant un point P situé hors de l'ellipse; la droite PF' rencontre l'ellipse en un point M. La ligne brisée MP + PF est plus grande que la ligne droite MF; en ajoutant de part et d'autre la même longueur F'M, on voit que le chemin F'P + PF est plus grand que F'M + MF, c'est-à-dire plus grand que AA'.
Il est clair que les réciproques sont vraies. Si la somme des distances d'un point du plan aux deux foyers est plus petite que le grand axe, ce point est intérieur à l'ellipse. Si la somme est plus grande que le grand axe, le point est extérieur. Il résulte de là que l'on peut considérer l'ellipse comme le lieu des points dont la somme des distances aux deux foyers est égale à 2a. C'est ainsi qu'on définit l'ellipse en Géométrie élémentaire, et c'est sur cette propriété que repose la construction de l'ellipse par points, ou d'un mouvement continu, dont nous avons parlé au commencement (n° 11).
221. Corollaire II. L'ellipse est le lieu des points également distants d'un foyer F et du cercle décrit de Vautre foyer F' comme centre avec un rayon égal au grand axe. Si l'on joint les foyers
à un point quelconque M de l'ellipse (fig. 123) et si l'on prolonge le rayon vecteur F'M d'une longueur MH égale à MF, on obtient une longueur F'H constante et égale au grand axe ; le lieu du point H est donc la circonférence décrite du foyer F' comme centre avec le grand axe pour rayon. La t-ig. m. portion MH du rayon
étant le plus court chemin du point M à cette circonférence, le point M de l'ellipse est également distant du foyer F et de la circonférence. On a donné à ce cercle le nom de cercle directeur.
GÉOM. ANALYT. 15
222. Théorème II. La tangente à V ellipse fait des angles igaux avec les rayons vecteurs, qui vont du point de contact aux deux foyers.
Prenons deux points voisins M et M' (fig. 124) sur l'ellipse; du foyer F comme centre, avec FM pour rayon, décrivons un arc de cercle qui coupera en C le rayon vecteur FM' : la longueur M'C représente la différence des deux rayons vecteurs FM et FM', ou l'accroissement qu'éprouve le rayon vecteur FM quand on passe du point M au point voisin M'. De même, si du foyer F' comme centre, avec F'M pour rayon, on décrit un arc de cercle qui
Fig. 124. J ^
coupera en D le rayon vecteur F'M prolongé, la longueur M'D représentera la différence des deux rayons vecteurs F'M et F'M', ou la diminution qu'éprouve le rayon vecteur F'M quand on passe du point M au point M'. Ainsi, quand on passe du point M au point M', le rayon vecteur FM éprouve un accroissement M'C, tandis que l'autre rayon vecteur F'M éprouve une diminution M'D. Puisque la somme des deux rayons vecteurs FM + F'M reste constante, l'augmentation de l'un est égale à la diminution de l'autre, et, par conséquent, les deux longueurs M'C et M'D sont égales.
Par les deux points M et M' menons la sécante MS ; dans les deux cercles considérés précédemment, traçons les cordes MC et MD. Sur la sécante MS portons une longueur MG, ar* bitraire, mais invariable, et par le point G menons GH parai lèle à MC, GK parallèle à MD ; à cause des parallèles, on s les rapports égaux
M'H- M'G- M'K" puisque les deux longueurs M'C et M'D sont égales, il en ré~ suite que les deux longueurs M'H et M'K sont aussi égales, Supposons maintenant que le point M' se rapproche indéfiniment du point M ; la sécante MS tend vers une position
Fig. 125.
limite MT (fig. x25), qui est la tangente à l'ellipse. En même temps, les points C et D se rapprochant du point M, les cordes MC et MD, prolongées, tendent vers les tangentes aux cercles décrits des points F et F' comme centres avec FM et F'M pour rayons, et, par conséquent, deviennent perpendiculaires aux rayons FM et F'M ; leurs parallèles GH et GK prennent aussi des directions perpendiculaires à ces mêmes rayons, et, par conséquent, les angles H et K deviennent droits. Les limites des deux triangles M'GH, M'GK (fig. 124) sont deux triangles rectangles MGH, MGK (fig. is5); ces deux triangles, ayant l'hypoténuse MG commune et les côtés MH et MK égaux entre eux, comme limites de longueurs égales, sont égaux; d'où l'on conclut l'égalité des deux angles GMH, GMK. Il en résulte que la tangente MT à l'ellipse divise en deux parties égales l'angle FMK formé par l'un des rayons vecteurs MF et le prolongement de l'autre F'M.
L'angle F'MT' étant égal à son opposé par le sommet GMK, on voit que la tangente TT fait, avec les deux rayons vecteurs qui vont au point de contact, des angles égaux FMT, F'Mr.
223. Corollaire I. Menons au point M (fig. 126) une perpendiculaire MN à la tangente TT', nous aurons la normale à l'ellipse. Les deux angles FMN, F'MN sont égaux comme complémentaires des angles égaux FMT, F'MT'; ainsi la normale à V ellipse au point M est bissectrice de V angle FMF' des rayons vecteurs qui vont de ce
point aux deux foyers,
224. Corollaire IL Supposons qu'une lumière soit placée au foyer F (fig. 127) d'une ellipse; les rayons lumineux, partant du point F, se réfléchissent sur l'ellipse en faisant un
Fig. 126.
angle de réflexion égal à l'angle d'incidence. Soit FM l'un de ces rayons; menons la tangente TT à l'ellipse en ce point; le rayon réfléchi, devant faire avec MT' un angle égal à FMT, sera dirigé suivant MF'. Ainsi les rayons réfléchis viennent tous con- Fig. 127. courir au second foyer F', où ils for-
ment une image très-brillante de la flamme placée au premier foyer F. C'est de là que vient la dénomination de foyer.
22o. Corollaire III. Réciproquement, l'ellipse est la seule courbe qui jouisse de la propriété que les rayons vecteurs qui vont du point de contact à deux points fixes F et F' fassent des angles égaux avec les deux parties de la tangente. Cherchons, en effet, l'équation de la courbe en coordonnées bi-polaires (n° 4)> et désignons par u et v les deux rayons vecteurs MF, MF' (fig. 124). Quand on passe d'un point M de la courbe au point voisin M7, les deux rayons vecteurs u et v éprouvent des variations
Aw = -fM'C , \v=z — WV, ,„ Av M'D M'K
etl0na to-~WG-~ÏÏK'
Quand le point M' se rapproche indéfiniment du point M, la droite MM' devient tangente et les deux angles H et K, comme nous l'avons dit, deviennent droits. Nous supposons d'ailleurs les deux angles GMH, GMK (fig. ia5) égaux entre eux; les deux triangles rectangles GMH, GMK sont donc égaux; on a
MH=MK, et le rapport — tend vers une limite égale à — 1.
Si Ton considère v comme une fonction de w, on voit que la dérivée de cette fonction est égale à — 1 ; en remontant à la fonction primitive, on a v = — u + C ; et, par suite, u + v = C. Donc la courbe est une ellipse.
226. Corollaire IV. Le lieu des projections des foyers sur les tangentes à l'ellipse est le cercle décrit sur le grand axe comme diamètre. Prolongeons le rayon vecteur F'M d'une longueur MH égale à MF; la tangente divisant en deux parties égales l'angle FMH est perpendiculaire sur le milieu I de la droite
FH (fig. 128) ; joignons ce point au centre 0 de l'ellipse. La droite 01, qui divise en deux parties égales les côtés FF', FH du triangle F'FH, est parallèle au troisième côté F'H, et en est la moitié; la longueur F'H étant égale au grand axe AA', la distance 01 est constante et égale à OA. Donc le lieu du point I est la circonférence de cercle décrite du point 0 comme centre, avec OA pour rayon.
227. Problème I. Mener une tangente à Vellipse en un point M donné sur Vellipse.
Nous avons déjà résolu ce problème, ainsi que les suivants, en considérant l'ellipse comme la production d'un cercle. Nous traiterons les mêmes questions par une autre méthode qui pourra être appliquée à l'hyperbole et à la parabole.
Prolongeons le rayon vecteur F'M (fig. 129) d'une longueur MH égale à l'autre rayon vecteur MF; et par le point M menons une droite TT perpendiculaire à FH; nous aurons la tangente demandée. Car, dans le triangle isocèle FMH, la droite MT, perpendiculaire abaissée du sommet sur la base FH, divise l'angle au sommet en deux parties égales. Cette droite, étant bissectrice de l'angle FMH formé par l'un des rayons vecteurs et le prolongement de l'autre, coïncide avec la tangente à l'ellipse.
228. Remarque. Il est bon d'observer que tous les points de la tangente, excepté le point de contact M, sont situés hors de l'ellipse. Soit P un point quelconque de la tangente : joignons ce point aux deux foyers et au point H. La tangente étant perpendiculaire sur le milieu de FH, la distance PF est égale à PH, et, par conséquent, la ligne brisée F'P 4- PF est égale à la ligne brisée F'P + PH; mais cette dernière est plus grande que la ligne droite F'H, qui est égale au grand axe de l'ellipse, puisqu'on a prolongé le rayon vecteur F'M d'une
longueur MH égale à MF. La somme des distances du point P aux deux foyers étant plus grande que le grand axe , ce point est situé hors de l'ellipse.
La ligne brisée F'M + MF est le plus court chemin allant du point F' au point F en passant par un point de la tangente.
On dit qu'une ligne brisée est convexe, lorsqu'elle est située tout entière d'un même côté par rapport à chacun de ses côtés indéfiniment prolongés. De même, on dit qu'une courbe est convexe lorsqu'elle est située tout entière d'un même côté par rapport à chacune de ses tangentes indéfiniment prolongées. Il résulte de ce qui précède que l'ellipse est une courbe fermée convexe.
229. Problème II. Mener une tangente à V ellipse par un point extérieur P.
Supposons le problème résolu, et soit PM (fig. i3o) une tangente passant par le point P. Si l'on prolonge le rayon vecteur
F'M d'une longueur MH égale à FM, on sait que la tangente PM est perpendiculaire sur le milieu de la droite FH ; la question revient donc à déterminer le point H. Puisque la droite F'H est égale au grand axe AA', le point H est situé sur la circonférence décrite du foyer F' comme centre avec AA' pour rayon. D'autre part, la distance PH étant égale à PF, le point H est sur la circonférence décrite du point P comme centre avec PF pour rayon ; le point H est donc à l'intersection de ces deux circonférences. On déduit de là la construction suivante : du foyer F' comme centre, avec un rayon égal au grand axe, décrivons un cercle. Du point P comme contre, avec un rayon égal à la distance PF de ce point à l'autre foyer, décrivons un second cercle, qui coupera le premier au point H. Joignons FH, et du point P menons une perpendiculaire à la droite FH, nous aurons la tangente demandée. Le point de
JT,
Fig.
contact M sera déterminé par l'intersection de la tangente avec la droite F'H. Les deux cercles se coupent en un second point H'; en menant de même du point P une perpendiculaire à FH', on aura une seconde tangente PM', dont on déterminera le point de contact M' à l'aide de la droite F'H'.
Il est à remarquer que ces constructions peuvent être effectuées sans que l'ellipse soit tracée. Il suffit que l'on connaisse les foyers et le grand axe.
230. Problème III. Mener à V ellipse une tangente parallèle à une droite donnée KL.
Supposons le problème résolu, et soit ST une tangente parallèle à KL (fig. i3i). Si l'on prolonge F'M d'une longueur
MH égale à MF, on sait que la tangente est perpendiculaire sur le mi- ^ lieu de FH. On en déduit la construction suivante : du foyer F comme centre, avec un rayon égal au grand axe, décrivons un cercle; par l'autre foyer F menons une droite FH perpendiculaire à la droite donnée KL ; cette droite coupera la circonférence en un point H; sur le milieu de FH, élevons une perpendiculaire ST, nous aurons la tangente demandée. Le point de contact sera déterminé par l'intersection de la tangente avec la droite F'H. La droite FH prolongée rencontre la circonférence en un second point H'; en élevant une perpendiculaire sur le milieu de FH', on obtiendra une seconde tangente ST, dont on déterminera lo point de contact M' par la droite F'H'.
231. Problème IV. Une ellipse étant définie par ses foyers ei son grand axe, déterminer les points ou elle est coupée par une droite donnée MM'.
Soit M l'un des points où la droite donnée coupe l'ellipse (fig. i5a); joignons ce point aux deux foyers et prolongeons le
Fi<?. 131.
Fig. 132.
rayon vecteur F'M d'une longueur MH égale à MF ; le point H
appartient au cercle directeur décrit du foyer F' commb centre ; si du point M comme centre, avec un rayon égal à MF, on décrit un cercle, ce cercle sera tangent en H au cercle directeur ; en abaissant du foyer F une perpendiculaire sur la droite donnée et prolongeant cette perpendiculaire d'une longueur égale à elle-même, on obtient un second point Ft appartenant à ce même cercle. La question revient donc â trouver le centre M d'un cercle passant par deux points donnés F et F4 et tangent au cercle directeur. Pour cela, par les deux points F et Ft on fait passer un cercle quelconque qui coupe le cercle directeur en deux points K et K' ; du point I, intersection des deux droites FFj et KK', on mène une tangente IH au cercle directeur ; le point M, où la droite FH coupe la droite donnée, sera le point cherché.
On a, en effet,
ÏH1=IKXIK' = IFXIF1;
donc le cercle qui passe par les trois points F, F*, H, est tangent en H au cercle directeur. Comme on peut mener du point I deux tangentes au cercle directeur, on aura deux points M et M'.
Lorsque le point Ft, symétrique du foyer F par rapport à la droite donnée, est situé à l'intérieur du cercle directeur, il y a effectivement deux solutions. Lorsque le point Ft est situé sur le cercle, la droite est tangente à l'ellipse. Enfin, quand le point F, est situé hors du cercle, la droite ne rencontre pas l'ellipse.
